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1、精选优质文档-倾情为你奉上对数函数及其性质1对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)(2)对数函数的特征：特征判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征比如函数ylog7x是对数函数，而函数y3log4x和ylogx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点【例11】函数f(x)(a2a1)log(a1)x是对数函数，则实数a_解析：由a2a11，解得a0,1又a10，且a11，a1答案：1【例12】下列函数中是对数函数的为_(1)yloga(a0，且a1)；(2)ylog2x2
2、；(3)y8log2(x1)；(4)ylogx6(x0，且x1)；(5)ylog6x解析：序号是否理由(1)真数是，不是自变量x(2)对数式后加2(3)真数为x1，不是x，且系数为8，不是1(4)底数是自变量x，不是常数(5)底数是6，真数是x2对数函数ylogax(a0，且a1)的图象与性质(1)图象与性质a10a1图象性质(1)定义域x|x0(2)值域y|yR(3)当x1时，y0，即过定点(1,0)(4)当x1时，y0；当0x1时，y0(4)当x1时，y0；当0x1时，y0(5)在(0，)上是增函数(5)在(0，)上是减函数谈重点 对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧，其单
3、调性取决于底数a1时，函数单调递增；0a1时，函数单调递减理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了我们要注意数形结合思想的应用(2)指数函数与对数函数的性质比较解析式yax(a0，且a1)ylogax (a0，且a1)性质定义域R(0，)值域(0，)R过定点(0,1)(1,0)单调性单调性一致，同为增函数或减函数奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数(3)底数a对对数函数的图象的影响底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a1时，对数函数的图象“上升”；当0a1时，对数函数的图象“下降”底数的大小决定了图象相对位置的高低：不
4、论是a1还是0a1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大【例2】如图所示的曲线是对数函数ylogax的图象已知a从，中取值，则相应曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为()A， B，C， D，解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C4的底数C3的底数C2的底数C1的底数故相应于曲线C1，C2，C3，C4的底数依次是，答案：A点技巧 根据图象判断对数函数的底数大小的方法(1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x轴上方“底大图右”，在x轴下方“底大图左”；(2)方法二：作直线y1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小3反函数(1)对数
5、函数的反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数(2)互为反函数的两个函数之间的关系原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称(3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：由yf(x)解出x，即用y表示出x；把x替换为y，y替换为x；根据yf(x)的值域，写出其反函数的定义域【例31】若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)()Alog2x B C D2x2解析：因为函数yax(a0，且a1)的反函数是f(x)logax，又f(2)1，即loga21，所以a2故f(x)log
6、2x 答案：A【例32】函数f(x)3x(0x2)的反函数的定义域为()A(0，) B(1,9 C(0,1) D9，)解析： 0x2，13x9，即函数f(x)的值域为(1,9故函数f(x)的反函数的定义域为(1,9答案：B【例33】若函数yf(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数yf(x)的图象必过点()A(5,1) B(1,5) C(1,1) D(5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线yx对称，而点(1,5)关于直线yx的对称点为(5,1)，所以函数yf(x)的图象必经过点(5,1)答案：A4利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式ylogax(a0，且a1)中仅含
7、有一个常数a，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)n或图象过点(m，n)等等通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f(x)logax(a0，且a1)，利用已知条件列方程求出常数a的值利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如logamn，这时先把对数式logamn化为指数式的形式anm，把m化为以n为指数的指数幂形式mkn(k0，且k1)，则解得ak0还可以直接写出，再利用指数幂的运算性质化简例如：解方程loga42，则a24，由于，所以又a0，所以当然，也可以直接写出，再利用指数幂的运算性质，得【例41】已知f(ex)x，则f(5)()A
8、e5B5eCln 5Dlog5e解析：(方法一)令tex，则xln t，所以f(t)ln t，即f(x)ln x所以f(5)ln 5(方法二)令ex5，则xln 5，所以f(5)ln 5答案：C【例42】已知对数函数f(x)的图象经过点，试求f(3)的值分析：设出函数f(x)的解析式，利用待定系数法即可求出解：设f(x)logax(a0，且a1)，对数函数f(x)的图象经过点，a2af(x)f(3)1【例43】已知对数函数f(x)的反函数的图象过点(2,9)，且f(b)，试求b的值解：设f(x)logax(a0，且a1)，则它的反函数为yax(a0，且a1)，由条件知a2932，从而a3于是f
9、(x)log3x，则f(b)log3b，解得b5对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0，)(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义一般地，判断类似于ylogaf(x)的定义域时，应首先保证f(x)0(3)求函数的定义域应满足以下原则：分式中分母不等于零；偶次根式中被开方数大于或等于零；指数为零的幂的底数不等于零；对数的底数大于零且不等于1；对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集【例5】求下列函数的定义域(1)ylog5(1x)；(2)ylog(2x
10、1)(5x4)；(3)分析：利用对数函数ylogax(a0，且a1)的定义求解解：(1)要使函数有意义，则1x0，解得x1，所以函数ylog5(1x)的定义域是x|x1(2)要使函数有意义，则解得x且x1，所以函数ylog(2x1)(5x4)的定义域是(1，)(3)要使函数有意义，则解得x1，所以函数的定义域是6对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法(2)对于形如ylogaf(x)(a0，且a1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：分解成ylogau，uf(x)这两个函数；求f(x)的定义域；求u的取值范围；利用ylogau的单调性求解(3)对于函数yf(l
11、ogax)(a0，且a1)，可利用换元法，设logaxt，则函数f(t)(tR)的值域就是函数f(logax)(a0，且a1)的值域注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围【例61】求下列函数的值域：(1)ylog2(x24)；(2)y解：(1)x244，log2(x24)log242函数ylog2(x24)的值域为2，)(2)设u32xx2，则u(x1)244u0，0u4又y在(0，)上为减函数，2函数y的值域为2，)【例62】已
12、知f(x)2log3x，x1,3，求yf(x)2f(x2)的最大值及相应的x的值分析：先确定yf(x)2f(x2)的定义域，然后转化成关于log3x的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值解：f(x)2log3x，x1,3，yf(x)2f(x2)(log3x)26log3x6且定义域为1,3令tlog3x(x1,3)tlog3x在区间1,3上是增函数，0t1从而要求yf(x)2f(x2)在区间1,3上的最大值，只需求yt26t6在区间0,1上的最大值即可yt26t6在3，)上是增函数，当t1，即x3时，ymax16613综上可知，当x3时，yf(x)2f(x2)的最大值为137对数函数的图象
13、变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数ylogax(a0，且a1)过定点(1,0)，即对任意的a0，且a1都有loga10这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键对于函数ybklogaf(x)(k，b均为常数，且k0)，令f(x)1，解方程得xm，则该函数恒过定点(m，b)方程f(x)0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数(2)对数函数的图象变换的问题函数ylogax(a0，且a1)函数yloga(xb)(a0，且a1)函数ylogax(a0，且a1)函数ylogaxb(a0，且a1)函数ylogax(a0，且a1)函数yloga|x|(a0，且a1)函数ylogax(a0，且a1)函数y|logax|(a0，且a1)【例71】若函数yloga(xb)c(a0，且a1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为_
