积分中值定理的推广与应用

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1、-学校代码10812分 类 号O172.2学 号积分中值定理的推广与应用系 别数学系专 业数学与应用数学姓 名凤指导教师润玲职 称副教授日 期2021年6月. z.-国图书：O172.2吕梁学院本科毕业论文设计积分中值定理的推广与应用姓 名凤系 别数学系专 业数学与应用数学申请学位学士学位指导教师润玲职 称副教授日 期2021年6月. z.-摘 要在微积分学中积分中值定理与微分中值定理一样有着重要的地位.微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.它是数学分析、高等数学课程中定积分局部的根本定理之一.众所周知积分中值定理包括积分第一中值定理与

2、积分第二中值定理,而在数学分析课本上已有过这两个定理的详细证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及.因此,在教学过程中,学在运用这一知识点解决有关的数学问题比较困难,常常不知如何下手,本文主要讲述的是积分第一中值定理的各种形式的推广以及通过以下几方面的列举例题,加以归纳总结,并充分表达积分中值定理在学习解题练习中的应用.关键词：积分中值定理；推广；应用. z.-ABSTRACTThe integral median value theorem and differential median value theorem has the same important position in the

3、calculus.Many questions and the proof of the inequality are all based on the integral theorem,the integral median theorem has played an important role in solving the problems about median.It is one of the basic theorems in the definite integral part ofthe mathematical analysisandthe higher mathemati

4、cs.Well-known that the integral median theorem include the first median theorem for integrals and the second median theorem for integrals and the te*tbooks of the mathematical analysis have the detailed proof about the two theorems,but the popularization and application of the two theorems have not

5、been addressed .Therefore,it is difficult when students use this knowledge to solve the related problems during the process of teaching.This article mainly introduce various popularization of the first median theorem for integrals and giving some e*ample through the following aspects,and giving some

6、summary,strive to reflect the application of integral median value theorem in studying the way which can slove the ploblems. Keywords：Integral median value theorem; Promotion; Applications. . z.-目 录引 言1第一章 积分中值定理的推广21.1积分中值定理21.2积分第一中值定理的推广2第二章 积分中值定理的应用82.1证明方面的应用82.1.1具有*些性质的点的存在问题82.1.2用于证明积分不等式1

7、02.2在计算方面的应用112.2.1与极限有关的问题112.2.2利用高阶导数计算定积分122.3用于级数的敛散性13完毕语15参考文献16 辞17. z.-引 言在数学分析中,中值定理占有非常重要的地位,微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.学好微积分中值定理能为进一步学好微积分理论打下坚实的根底.从引入积分中值定理入手,并对积分第一中值定理进展各种推广且扩大积分第一中值定理应用围,增强其实际围,使积分第一中值定理发挥更大作用.此外还对传统的微积分教材中关于定积分理论局部的这种模式:由连续函数的介值性积分中值定理微积分根本定理牛顿莱布尼兹公式.

8、这一模式至少存在着如下的缺陷:它消弱了积分中值定理的结论从而限制了这一重要定理的应用,不便于对积分中值定理进展推广等等.本文将对上述传统顺序稍作调整后对积分中值定理进展各种推广.我们将会看到,这小小的调整不仅会使上述各种缺陷得到抑制而且可以使积分中值定理的重要作用得到充分的发挥!进而提高我们的发散思维能力和创新能力.第一章 积分中值定理的推广1.1积分中值定理积分第一中值定理 假设函数在闭区间连续,则至少存在一点,使得.积分第二中值定理 设函数在闭区间上可积.假设函数在上为减函数,且0，则存在,使得;假设函数在上为增函数,且0，则存在,使得.1.2积分第一中值定理的推广对于积分第一中值定理是否

9、可以将条件闭区间减弱到开区间,是否对连续函数也有上述的积分中值定理呢我们将证明这个定理中一定可以在开区间上取到,并把这个定理推广到连续函数上去.定理1.1 假设函数在闭区间连续,则在开区间至少有一点,使得.证明 设,由微积分根本定理知在上可微且,由拉格朗日微分中值定理可得,在存在一点使.因为,以及,所以 ,.定理1.2 假设函数在开区间上连续,而在及为第一类连续点,或只有一个第一类连续点而另一端点是连续点,则在上至少有一点,使得 .证明 设因为在及为第一类连续点,所以是在上的连续函数.对用积分中值定理并结合定理1有,.由于在上以及;所以有,.故上式即为,.注 上述定理说明了当端点为第一类连续点

10、时积分中值定理依旧成立,假设或为第二类连续点,则因为与是区间端点,故在的右极限或在的左极限不存在,所以对于重新定义使得在上连续不能实现,故对于端点为第二类连续点不加以讨论,但假设端点为无穷型连续点,且广义积分收敛时,则在上的积分中值定理是否仍成立下面定理答复了这一事实.定理1.3 假设在上连续,是连续点或第一类连续点,为瑕点,且广义积分收敛,则在上仍有.证明 由广义积分定义知.所以 ,由题意知:等式左边存在，所以等式右边也应存在.记,.所以有 ,.注 上述定理的条件假设设为为无穷型连续点,是连续点或第一类连续点,而其不变,则上述定理的结论仍成立.在上一定理中只有一端端点为无穷型连续点,假设两端

11、点都为无穷型连续点时情形呢.定理1.4 设在上连续及都为无穷型连续点且广义积分收敛,则在上至少有一点,使得.证明 由上一定理知.其中,显然,所以有在上连续，设,因为,.所以有即 .因此对在上连续函数使用介值定理得,.所以有,.假设设,证法一样.通过我们对积分第一中值定理中一定可以在开区间上取到并使得成立,而且我们在分析证明时注意到 实际上还可表为,.这样,就能把N-L公式,微分中值定理,积分第一中值定理统一起来,大大加强了它们之间的联系,并在一定条件下可以相互转化,更为重要的是我们可以利用微积分根本定理对定理1.1进展推广.定理1.5 函数在闭区间有阶导数,则至少存在使证明 则,有 , . 又

12、在点的阶泰勒公式为,.注意到, 故在上式中令,得.其中.上述定理只说明了函数有阶导数,假设函数有(偶数阶连续导数时情形呢.定理1.6 设函数在闭区间有偶数阶连续导数,则至少存在一点使证明 设,则,有,.设,则在点的阶泰勒公式为 其中.特别，在上式中分别令和,则分别得和 其中,.由式式得因为为偶数,且对,有.故由式得 . 依题设,在连续且.由连续函数的介值性，知存在一点使以此代入，即得证.第二章 积分中值定理的应用2.1证明方面的应用2.1.1具有*些性质的点的存在问题在积分学的学习过程中,有关定积分具有*种性质的点的存在性的论证是学生学习的一难点.一般,我们应仔细观察被积函数所具有的性质,注意

13、利用微分中值定理,积分中值定理等途径,从而到达有关问题的证明.例1 在连续,在可导,且,试证明在存在一点,使成立.分析 结论,可构造辅助函数.但是，,在不满足罗尔定理的条件.可在寻找满足罗尔定理的条件的子区间.证明 ,则在连续,在可导.由积分中值定理知,.因为 .所以由罗尔定理知,存在,使则.例2 函数在上连续,且,试证:在至少存在两个不同的点,使.证明 ,结论显然成立.假使由积分中值定理知存在使.即,假设在只有一个实根,由可知,在与异号,不妨设在,在,而在为单调下降,所以.与,.矛盾,于是除外,在至少还有一个实根,故至少存在两个相异的实根,使.例3 函数在上连续，在二阶可导且.试证:存在一点

14、使.证明 在上,则结论显然成立.假设上,由积分第一中值定理知,在上至少存在一点实际上在开区间一定存在这样的使得,所以.又因在,上连续,在,可导.由罗尔中值定理,存在使.2.1.2用于证明积分不等式积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当积分区间一样时,先合并统一积分区间上的不同积分,根据被积函数所满足的条件,灵活运用积分中值定理以到达证明不等式成立的目的.例4在上连续,单调增加.证明 证明 积分中值定理得. (是单调增加)其中故.例5在上是连续,非负,严格单调减函数.证明.证明 积分第一中值定理可以得到,;,.由以上两个不等式可以得到;. 两边乘以得.因为,所以,又由于在上是连续,非负函数.所以.所以 .2.2在计算方面的应用2.2.1与极限有关的问题无论是数列极限还是函数极限的计算中,假设含有定积分式,首先用定积分的