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1、 第一讲 数列问题选讲第1课时 化等比求通项符合条件（其中A、B、C、D为已知的常数且A0，）的递推数列的通项公式的求法，也就是将已知数列转化变形为新的“等比”数列后求通项的方法类型一：递推关系形如 的数列例1、 已知数列满足： ，求数列的通项公式解析：变形为：，就可以转化为一个新的等比数列类型二：递推关系形如 的数列例2、已知数列满足： ，求数列的通项公式解析：变形为：，就可以转化为一个新的等比数列， 类型三：递推关系形如 的数列例3、已知数列满足： ，求数列的通项公式解析：变形为：，就可以转化为一个新的等比数列例4、已知数列满足： ，求数列的通项公式解析：变形为：，转化为一个新的等比数列
2、类型四：递推关系形如 的数列例5、已知数列满足： ，求数列的通项公式解析：设变形后的形式为，展开整理得，由待定系数法知，所以有 再将代入上面已设的形式：最终的变式：转化为一个新的等比数列。小结：，变形为：，变形为：；，变形为：；，变形为：；，可采用累加法求出数列的通项公式第2课时 特征根法求数列通项公式一、形如是常数）的数列 形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为 若有二异根，则可令是待定常数） 若有二重根，则可令是待定常数） 再利用可求得，进而求得例1 已知数列满足，求数列的通项例2已知数列满足，求数列的通项二、形如的数列对于数列，是常数且）其特征方程为，变形为若有二
3、异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得若有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得例3已知数列满足，求数列的通项例4已知数列满足，求数列的通项第一讲 递推数列问题强化练习1、已知中，（）求2、已知的首项，（）求通项公式。3、已知中，且求数列通项公式。4、数列中，求的通项。5、已知：，时，求的通项公式。6、已知中，求。7、已知中，（）求。8、已知中，（）求。9、已知中，其前项和与满足（）（1）求证：为等差数列 （2）求的通项公式10、已知在正整数数列中，前项和满足（1）求证
4、：是等差数列 （2）若，求的前n项和的最小值第一部分 联赛讲座基础 第二讲 竞赛中常用的重要不等式1、柯西不等式：定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即；等式当且仅当时成立。例1、证明均值不等式链：调和平均数算术平均数均方平均数。即：设求证：2、排序不等式：定理设有两组实数，满足，则(倒序积和)（乱序积和）（顺序积和）其中是实数组一个排列，等式当且仅当或时成立。说明：本不等式称排序不等式，俗称：例序积和乱序积和须序积和。例2、利用排序不等式证明柯西不等式：其中等式当且仅当为常数时成立。例3、利用排序不等式证明正数的算术平均数不小于几何平均数。3、契比雪夫不等式：设(i=1,2
5、，n)(i)若则顺序积和的算术平均数不小于这两组数算术平均数之积： ；（）若，则倒序积和的算术平均数不大于这两组数算术平均数之积：例4 、设，求证第一部分 联赛讲座基础 第三讲 数论基础-同余同余式和不定方程是数论中古老而富有魅力的内容.考虑数学竞赛的需要,下面介绍有关的基本内容.1.同余式及其应用定义:设a、b、m为整数（m0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为或一切整数n可以按照某个自然数m作为除数的余数进行分类，即n=pm+r（r=0，1，m-1），恰好m个数类.于是同余的概念可理解为,若对n1、n2，有n1=q1m+r，n2=q2m+r，那么n1、n2对模m的同余
6、，即它们用m除所得的余数相等.利用整数的剩余类表示,可以证明同余式的下述简单性质:(1) 若,则m|(b-a).反过来,若m|(b-a),则;(2) 如果a=km+b(k为整数),则;(3) 每个整数恰与0,1,，m-1，这m个整数中的某一个对模m同余；(4) 同余关系是一种等价关系： 反身性 ； 对称性，则，反之亦然. 传递性，则；（5）如果，则；特别地应用同余式的上述性质，可以解决许多有关整数的问题.例1、 求使2n+1能被3整除的一切自然数n.例2、求2999最后两位数码.例3、求证31980+41981能被5整除.2不定方程不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；
7、如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.(1) 不定方程解的判定如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.例4、证明方程2x2-5y2=7无整数解.例5、不存在整数x,y使方程例6、满足方程x2+y2=x3的正整数对（x，y）的个数是（ ）.（A）0 （B）1（C）2（D）无限个（E）上述结论都不对(2) 不定方程的解法不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数
8、的性质是解不定方程的基本思路.例6、求方程的整数解.练习1. 选择题(1)方程x2-y2=105的正整数解有( ).（A） 一组 （B）二组 （C）三组 （D）四组(2)在0,1,2,，50这51个整数中，能同时被2，3，4整除的有（ ）.（A） 3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个2填空题(1) 满足不等式104A105的整数A的个数是x104+1，则x的值_.(2) 已知整数y被7除余数为5,那么y3被7除时余数为_.(3) 求出任何一组满足方程x2-51y2=1的自然数解x和y_.3. 求三个正整数x、y、z满足.第一部分 联赛讲座基础 第四讲 复数基础1虚数单位:(1)它的平方等于
9、-1，即; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2与1的关系: 就是1的一个平方根，即方程x2=1的一个根，方程x2=1的另一个根是3的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=14复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示5复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式6复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、bR)是实数a；当b0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b0时，z=bi叫做纯虚
10、数；当且仅当a=b=0时，z就是实数05复数集与其它数集之间的关系：NZQRC6两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小，也只有当两个复数全是实数时才能比较大小7复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、bR)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数。对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为
11、(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法8复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i9复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i10复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z111复数的加法运算满足结合律
12、: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)12乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与虚部分别合并两个复数的积仍然是一个复数13乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3; (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z314除法运算规则：15*。共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭
13、复数也叫做共轭虚数，复数z=a+bi和=abi(a、bR)互为共轭复数16复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量、，那么，以OP1、OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量就是z1+z2的和所对应的向量17复数减法的几何意义：两个复数的差zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应18复数的模：19复数的模：20复数的辐角及辐角主值：以轴的非负半轴为始边、以所在射线为终边的角在内的辐角就叫做辐角主值，记为argz当时， 0 ， ，21复数的三角形式：其中，；复数三角形式的特征：模0；同一个辐角的余弦与正弦；与之间用加号连结22复数的三角形式的乘法：若，则23复数的三角形式的乘方(棣美弗定理)：若，则24复数的三角形式的除法：若，则25复数代数形式开平方和三角形式开高次方的运算：复数开平方，只要令其平方根为，由，解出有两组解复数的方根为： 共有个值例题选讲例1实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点Z在第三象限？例2计算（1）
