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1、数学美欣赏第10讲1. 砖块对角线的巧妙测量法欲知砖头的对角线的长，可测出出砖的长、宽、高，则对角线的长. 用此法求对角线，需要测量三次，且要计算乘方和开方. 在实用上, 有不用计算，只需用尺子一量便知的妙法. 方法一 把一块砖平放，把另两块砖靠紧, 竖放在这块砖上面，如图所示. 把顶部画了阴影的那块砖拿走，用刻度尺测量即得砖的对角线的长度.方法二 把砖竖放于地面. 设一木尺的一个端点为, 在尺上取两个点和, 使砖的顶部矩形的对角线的长度. 令尺的边缘重合于砖顶对角线，且尺的端点落在砖的一个顶点处，用另一尺子测量图中的即得砖的对角线之长.2. 糕点售货员的打包技术 顾客买了一盒点心，要求售货员
2、把长方体的点心盒用尼龙绳捆紧，便于携带. 售货员至少有两种捆绑方式.一是正交十字法. 如图. 这是一种牢固的包扎方法. 二是上下压角法(这与前面讲的捆绑立方体很类似). 如图. 捆扎的尼龙绳形成了一个空间八边形. 要使捆扎最紧, 必须使该空间八边形的周长最短. 我们从纸盒的平面展开图上来分析. 在展开图上, 仅当、共线时, 封闭折线(尼龙绳)才最短. 设上述八点共线. 则直线可在一定的范围内平移. 图中的两条虚线是的极限位置, 可在这两条虚线所夹的范围内平移. 设纸盒的长、宽、高分别为、, 则不论在上述范围内的哪个位置, 八边形的周长都是同一值(周长的最小值), 相应的捆扎都是牢固的. 这种别
3、致、最优的捆扎方式, 样式新颖, 使得绳子不仅可以沿着自身的走向移动, 而且可在盒子的表面平移, 平移时, 绳子的总长还保持不变, 恒为. 另外, 该方法所用的绳子的长度小于正交十字法所用的绳子的长度. 绳子的第一个极端位置 绳子的一般位置 绳子的第二个极端位置 以上三个位置画在同一图上 在绳子的一般位置的图示中, 注意且, 且, 且, 且.如用多条绳子捆紧盒子, 并使各条绳子的位置不同（彼此平行），则图示如上. 把上述平面展开图中的两条虚线所夹的区域视为一条宽带子, 则可用该带子牢固地捆紧纸盒, 这就好像用多条绳子捆扎一样.3. 怎样判断一个自然数能否被，和整除？设是自然数, 则(1)可以被
4、(或)整除的个位数可以被(或)整除. 换言之, 可以被(或)整除的个位数是偶数(或和之一).例如, 可以被整除, 但不能被整除. 和可以被整除, 但不能被整除.该方法的意义(实用价值)在于: 不需要实际做除法即可判断一个数能否被或整除, 这比计算和简便. (2)可以被(或)整除的各位数字之和可以被(或)整除.例如, 可被整除, 但不能被整除, 因为可被整除, 但不能被整除. 直接验证：，余.不能被整除, 因为不能被整除. 直接验证: 余.可被整除, 因为可以被整除. 直接验证: .该方法的意义(实用价值)在于: 用较小的计算量即可判断一个数能否被或整除, 这比计算和简便. 以下各方法的用处类此
5、.(3)可以被整除的偶位数字之和与奇位数字之和的差可以被整除.例如，可以被整除，因为可以被整除.不能被整除, 因为不能被整除.(4)判断能否被(或, )整除的方法方法一 可以被(或, )整除的最后三位数字组成的数和其余各位数字组成的数的差可以被(或, )整除.例如, 可以被整除, 因为可被整除.不能被整除, 因为不能被整除.可以被整除, 因为可被整除.不能被整除, 因为不能被整除.可以被整除, 因为可以被整除.不能被整除, 因为不能被整除.注意 上述方法可以反复使用, 能达到简化计算的效果. 如判断可否被整除时, 先求出, 然后, 对, 再计算, 它可以被整除, 从而也可以被整除, 于是, 可
6、以被整除.方法二 从的个位起, 每位分为一段, (例如, 可以写成), 则能被(或, )整除奇数段数字之和与偶数段数字之和的差可以被(或, )整除.例如, 可以被整除, 因为可以被整除.不能被整除, 因为不能被整除.可以被整除, 因为可以被整除.不能被整除, 因为不能被整除.可以被整除, 因为可以被整除.不能被整除, 因为不能被整除.注意 上述方法也可以反复使用, 以达到简化计算的目的. 如上面判断可以被整除时, 先计算出, 然后, 可以对, 计算, 它可以被整除, 所以也可以被整除, 从而可以被整除.4. 消九验算法例1 对不对？ 利用下面讲的消九验算法可以简便地加以验证.对乘数，有余. 对
7、乘数, 有余.两个余数的乘积为，余. 对乘积，有余.最后两个余数相同，我们可以基本断定是正确的(事实上, 此计算确实正确).说基本断定是正确的, 而不说肯定正确, 是因为可能有这种情况出现, 就是计算虽然有错, 但用上述方法仍然得到最后两个余数相同的结果.比如, 显然是错的, 但余, 余, , 余, 余. 最后两个余数相同.由此可见, 上述方法不是绝对可靠的!例2 对不对?余, 余, , 余, 余. 因, 所以断定是错的.这就是说, 如果最后的两个余数不同, 则一定可以断定计算出错.例3 把消九验算法灵活变通一下, 可以简化验算时的计算.检验例中的是否正确.对: ,;对: ,;, ;对: ,.
8、最后的两个计算结果相同, 可基本断定正确.道理: 被除所得的余数“”被除所得的余数“”被除所得的余数. 对，和有类似结果.我们看到, 本例中的方法比前两个例子中的方法在计算上简便多了!例4 检验例中的是否正确.对: , ;对: , 削去, 得;对: .最后的两个计算结果不同: , 于是可以断定是错的.5. 素数的故事(1)名不符实的冠名 素数并不素(朴素). 它的定义和名称似乎给人一种印象，认为素数是质朴简单的一种最基本的数. 其实, 算术中的麻烦事大都是由它惹起的. 例如，我们知道的哥德巴赫猜想和孪生素数的黎曼猜想就是典型的例子. 1989年，Amdabl Six小组在美国加利福尼亚圣克拉大
9、学用Amdabl 1200超级计算机捕捉到一对孪生素数: . 可见素数名不符实.还有一个在数学史上贻笑大方的、名不符实的故事，它是关于威尔逊定理的. 有一个关于素数的定理，用英国法官威尔逊(JWilson，17411793)的名字冠名.威尔逊定理 若为自然数，则是素数整除. 事实上，这条定理是莱布尼茨首先发现，后经拉格朗日证明的. 但威尔逊的一位擅长拍马屁的朋友沃润(EWaring)在1770年出版的一本书中, 却吹嘘说是威尔逊发现的这一定理，而且还宣称这个定理永远不会被证明，因为人类没有好的符号来处理素数. 这种话传到高斯的耳朵里. 当时, 高斯也不知道拉格朗日证明了这一定理，他在黑板前站着
10、想了五分钟，就向告诉他这一消息的人证明了这一定理! 高斯批评威尔逊说：“他缺乏的不是符号而是概念.” 两百多年来，全世界的数论教科书上都照样把这一定理称为威尔逊定理. 看来还历史以本来面貌，更换本定理的冠名已无必要，也不易纠正这么多年来文献与教材上的称呼了. 威尔逊定理应用很广. 例如, 对较大的素数，我们虽然无力算出的值，但却知道被除的余数是. 由于威尔逊定理的戏剧性的冠名以及它的内容的重要性，有人戏称：“如果一个人不知道威尔逊定理，那他就白学了算术.” (2)不能实施的素数判别法 从字面上看，威尔逊定理已经明白无误地给出了一个简洁的四则运算算法，可以判断任何一个正整数是不是素数. 可惜太无
11、情了，它使得我们没有那么的多时间和抄写空间(纸张或计算机内存)来弄清是几! 例如，1876年，法国数学家卢卡斯(ALucas)用手和笔发现了一个位的素数.若用威尔逊定理来判断是否是素数, 就需要计算，以每页书可排个阿拉伯数字计算，可以印成页的书至少本，这比全世界的总藏书量还多得多! 因此, 用威尔逊定理去判断一个大数是否是素数, 这是行不通的!可见，威尔逊定理只有理论价值，它是一个无实施价值的判别法，或者说，它是一个无效的坏算法.我们渴望设计出一个有效算法, 来判别任给的正整数是否是素数. 这种迫切性从费马数和哥德巴赫猜想等问题上可以感觉到. 所谓费马数，是指形如的数，其中. , , , ,
12、, . 从到, 容易判定它们都是素数，是亿多的大数，费马当年无力判断是否是素数，他只是大胆地猜想, 一切都是素数. 1732年，欧拉算出，从而否定了费马关于费马数素性的猜想. 1880年，法国数学家卢卡斯算出.1971年，有人对得出素因子分解. 1981年，有人得出的素因子分解. 1980年，有人得出的一个因子是. 1984年，有人得出的一个因子是. 1986年，有人用超级计算机连续运算十天, 得知是合数. 人们至今知道的素费马数还只是, , , , . 这个问题不能彻底解决的要害, 是人们至今没有搞出判别素数的有效算法. 也有一种潜在的厄运，那就是判定一个数是否是素数和移动河内塔上的盘子一样
13、，本质上就不存在有效算法! (3)素数病毒越来越多 把的小数点删去，就改写成了一个阿拉伯数字的无穷序列. 问：长几的前缀是素数? 例如，与是素数；是第三个素前缀；1979年美国数学家贝利(RBaillie)等人发现上的第四个素前缀. 敢问：还有第五个素前缀吗? 第六个，第七个,呢? 把换成，换成，, , , , , 再问同类问题，又该怎么解答呢? 即使是温和一些的问题，例如下面的问题, 其解答仍然是悬案!.问: 当为素数时，是否是素数? 真是心血来潮! 随便一问就会难倒人! 这样提出问题会使人对素数产生一种反感. 在形形色色应接不暇的问题当中，似应首选那些具有重要应用背景或理论背景，又有能力解
14、决的问题去研究. (4)重要的问题是落实算术基本定理 算术基本定理告诉我们，任一大于的整数都可以唯一地表成某些素数的乘积，即, 其中, , , 是被唯一确定的素数. 问题是，如何由具体地求出, , , ? 这是一个有重要实用背景和计算机计算的时间复杂度理论背景的大问题. 是数论的中心课题之一，也是计算机科学的主攻方向之一. 假设某年某人设计出了一个有效算法，能在多项式时间内求得中的, , , 的值，那么当是素数时，就是，即此算法可以有效地判定素数，从而可以在多项式时间内解决前面提出的诸多问题. 例如, 费马数是否为素数(是任意给定的自然数)，无理数(例如)的前缀是否是素数等问题. 这里说的“多
15、项式时间”是指对一个问题，存在一个多项式，是要判定的整数的输入长，即它的位数的一个倍数. 在实用上，例如在保密通讯与密码破译当中，需要对大合数进行素因子分解. 一般地, 这种大合数有百位之大，所以, 目前各军事大国都集中大量人力物力，研究这种合数的素分解问题，但至今并未听说有明显进展. 如果真搞出素分解算法，则对任给定的大偶数，可以在多项式时间内把它表成两个素数之和或发现哥德巴赫猜想的反例. 我们期望的这种素分解的有效算法能解决这么多非常之难的问题，可见设计出它的难度是诸多数论难题难度之集大成! 即使这种算法存在，也是很难设计出来. 我们甚至还应想到它根本就不存在，以免望梅止渴，水中捞月!6. 蚂蚁在砖上爬行的最佳行迹一只蚂蚁从一块砖的一个顶点爬向对角顶点，它应沿着怎样的路线爬行，才能使
