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1、第一章实数集与函数 1实数 授课章节：第一章实数集与函数一一1实数 教学目的：使学生掌握实数的基本性质.教学重点：（1）理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性； 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式.（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用. 教学方法：讲授.（部分内容自学） 教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了数学分析这门课程的研究对象、主要 内容等话题.从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主 要内容首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始.问题为什么从“实数”开始.答：数学分析研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在
2、“实 数集”上的（后继课复变函数研究的是定义在复数集上的函数）.为此，我们要先了解一下实数的有关性质.一、实数及其性质1、实数有理数：任何有理数都可以用分数形式 q （ p, q为整数且q 0）表示，P也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示 无理数:用无限十进不循环小数表示 R x | x为实数-全体实数的集合.问题有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的.为以下 讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”.为此 作如下规定：限 小 数 x ao.a&L an,0 ai 9,i 1,2,L , n,% 0,a。为非负整数，记 x 3。丄务1 1）9999L ;
3、对于正整数x a。,则记x （a。1）.9999L ;对于负有限小数（包括负整数）y，则先将y表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号.0表示为0= 0.0000L例:2.0012.0009999L ;32.9999L ；2.0012.009999L ；32.9999L利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示在此规定下，如何比较实数的大小？2、两实数大小的比较1） 定义1给定两个非负实数x a.aiL anL ，y bbL bn L .其中直,5为 非负 整数，ak，bk （k 1,2,L ）为 整数，0 ak 9,0 b k 9 .若有 ak bk,k 0,1,2,L，则称x与y
4、相等，记为x y ;若a。b或存在非负整数I， 使得ak bk, k 0,1,2,L ,l，而q 1 b| 1，则称x大于y或y小于x,分别记为x y 或y x .对于负实数x、y，若按上述规定分别有 x y或x y，贝U分别 称为x y与x y （或y x）.规定：任何非负实数大于任何负实数.2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）.定义2 （不足近似与过剩近似）:x a00L anL为非负实数，称有理数1Xn a.a1L an为实数x的n位不足近似；x. x.飞称为实数x的n位过剩近10似，n 0,1,2丄.1对于负实数xa.a1L anL ，其n位不足近似x.比丄a. n ；
5、n位过10剩近似 xn.a-|L an .注：实数x的不足近似召当n增大时不减，即有X。x, X2 L ;过剩近似 xn当n增大时不增，即有x X1 X2 L .命题：记x a.a1L anL ， y SbL gL为两个实数，则x y的等价条件 是：存在非负整数n，使Xn yn （其中Xn为x的n位不足近似，yn为y的n位过 剩近似）.命题应用例1.设X, y为实数，X y，证明存在有理数r，满足X r y .证明：由X y，知：存在非负整数n,使得X； yn 令r 1只yn ,贝打2为有理数，且x x； r y； y 即 x r y .3、实数常用性质（详见附录U. P289 P302）.1
6、）封闭性（实数集R对，）四则运算是封闭的.即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数.2）有序性：a,b R，关系a b,a b,a b，三者必居其一，也只居其3) 传递性：a, b, c R，若a b,b c,则 a c.4）阿基米德性：a,b R,b a 0 n N使得na b.5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数.6）一一对应关系：实数集R与数轴上的点有着一一对应关系.例2.设a,b R，证明：若对任何正数，有a b ，则a b.（提示：反证法利用“有序性”，取 a b）二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数a的绝对值的定义为|a|a,a0aa0#、几个重要不等式1、a
7、2 b2 2ab,sin x1.sin x2、均值不等式：对a1, a2, an RM(ai)an1 nai,n i 1算术平均值)G(ai)n aan1nai几何平均值)H(aJn丄丄a a 21T1 n丄ann i 1 ai(调和平均值)i i ai有平均值不等式：H(aJ G(ai)M (ai),即:n1 1 . 1L a1a2ann aia2L ana? Lnan等号当且仅当a1 a2an时成立.3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)1,有不等式(1 x)n 1nx,n N.2时,有严格不等式(1 x)n 1nx.证:由 1 x 0 且 1 x 0,(1 x)n
8、n 1(1 x)n 1n n (1 x)n n(1x).(1 x)n 1 nx.4、利用二项展开式得到的不等式：对h 0,由二项展开式(1 h)n 1 nh 叫h2 n(n 1)(n 2)h3 2!3!hn,(1 h)n上式右端任何一项.练习P4. 5课堂小结:实数:实数及其性质 绝对值与不等式.作业P4. 1. (1) , 2. (2)、(3) , 3# 2数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数一一2数集和确界原理 教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念 .教学要求：(1) 掌握邻域的概念；(2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运 用教学重点
9、：确界的概念及其有关性质(确界原理)教学难点：确界的定义及其应用教学方法：讲授为主教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学 了第一章1实数的相关内容下面，我们先来检验一下自学的效果如何！1、证明：对任何x R有： |x 1| |x 2| 1；|x 1| |x 2| |x 3| 2.(1 Q x 11 (x 2)1 x 2, x 1 x 21)(2)|x 1 |x 2 1, x 2 |x 3 1, x 2 |x 3 2.三式相加化简即可)2、证明：|x | |y | |x y |.3、 设a,b
10、 R，证明：若对任何正数 有a b ，则a b.4、设x, y R,x y，证明：存在有理数r满足y r x .引申:由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的 思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一 般的方法？由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；课后未布置作业的习题要尽 可能多做，以加深理解，语言应用提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术 语和工具本节主要内容：1、先定义实数集R中的两类主要的数集一一区间与邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理(
11、确界原理)一、区间与邻域1、区间(用来表示变量的变化范围)设a,b R且a b.区间 有限区间，其中无限区间开区间:x R | a x b (a,b)有限区间闭区间:x R | a x b a,b闭开区间:x R|a x b开闭区间:x R|a x ba, b)(a,bxR| xaa,).xR| xa(,a.无限区间xR|xa(a,).xR|xa(,a).xR|xR半开半闭区间#2、邻域.与a邻近的“区域”很多，到a的对称区间”；如何用数学底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域” 语言来表达呢?(1) a的 邻域：设a R, 0,满足不等式|x a|
12、的全体实数x的集合称为点a的 邻域，记作U (a;)，或简记为U(a)，即 ， + 一Oa-daa+S xU (a; ) x | x a| (a ,a )其中a称为该邻域的中心,称为该邻域的半径#(2) 点a的空心邻域(a ,a) (a,a)JJ(a).Uo(a; ) x 0 | x a|(3) a的 右邻域和点a的空心 右邻域U (a; )a, a)JJ (a)x axa;U0 (a; )(a, a)U 0(a)x axa.(4) 点a的 左邻域和点a的空心 左邻域U (a; ) (a ,aU (a) xa x a ; U0(a; ) (a ,a) U0(a) x a x a .(5) 邻域
13、， 邻域， 邻域U( ) x|x| M ,(其中M为充分大的正数)；#U( ) Xx M ,U( ) x#二、有界集与无界集1、定义1（上、下界）：设S为R中的一个数集.若存在数M（L），使得一切x S 都有x M （x L），则称S为有上（下）界的数集.数M（L）称为S的上界（下 界）；若数集S既有上界，又有下界，则称 S为有界集.闭区间a,b、开区间（a,b）（a,b为有限数）、邻域等都是有界数集，集合E y y sinx, x （,）也是有界数集.若数集S不是有界集，则称S为无界集.（,）,（,0）,（0,）等都是无界数集，集合E y y -, x （0,1）也是无界数集.x注：1）上（
14、下）界若存在，不唯一；2）上 （下）界与S的关系如何？看下例：例1讨论数集Nn |n为正整数 的有界性.解：任取no N，显然有no 1，所以N有下界1 ；但N无上界.因为假设N有上界M,则M0按定义，对任意no N，都有 no M，这是不可能的，如取n。M 1（符号M表示不超过M的最大整数）， 则 n0 N，且 n0 M .综上所述知：N是有下界无上界的数集，因而是无界集.例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3） 由有限个数组成的数集是有界集.问题:若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？（答：不唯一 ， 有无穷多个）.三、确界与确界原理1、定义定义2（上确界） 设S是R中的一个数集，若数 满足：（1）对一切x S,有x （即 是S的上界）；（2） 对任何，存在X。S，使得X。（即是S的上界中最小的一个），则称数 为数集S的上确界，记作 supS.从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.命
