《新版浙江版高考数学一轮复习(讲练测)： 专题4.7 解三角形及其应用举例讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新版浙江版高考数学一轮复习(讲练测)： 专题4.7 解三角形及其应用举例讲（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 1第07节 解三角形及其应用举例【考纲解读】考 点考纲内容5年统计分析预测正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理及其应用20xx浙江文18； 20xx浙江文18；理10，18；20xx浙江文16；理16；20xx浙江文16；理16；20xx浙江14.1.测量距离问题；2.测量高度问题；3.测量角度问题.4.备考重点：（1）掌握正弦定理、余弦定理；（2）掌握几种常见题型的解法.（3）理解三角形中的有关术语.【知识清单】1. 测量距离问题实际问题中的有关概念(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)(2)方位角：从指北方向顺时针
2、转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图2)(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向南偏西等其他方向角类似(4)坡度：定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角为坡角)坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)对点练习：【浙江宁波模拟】如图，某商业中心有通往正东方向和北偏东方向的两条街道，某公园位于商业中心北偏东角，且与商业中心的距离为公里处，现要经过公园修一条直路分别与两条街道交汇于两处,当商业中心到两处的距离之和最小时，的距离为 公里【答案】 2. 测量高度问题余弦定理： ， ，
3、 .变形公式cos A，cos B，os C对点练习：【20xx高考湖北】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. 【答案】【解析】依题意，在中，由，所以，因为，由正弦定理可得，即m，在中，因为，所以，所以m. 3. 测量角度问题应熟练掌握正、余弦定理及其变形解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理对点练习：【20xx广东佛山二模】某沿海四个城市、的位置如图所示，其中， ， ， ， ， 位于的北偏东方向.现在有一艘轮船从出
4、发以的速度向直线航行， 后，轮船由于天气原因收到指令改向城市直线航行，收到指令时城市对于轮船的方位角是南偏西度，则_【答案】 ，故. 【考点深度剖析】高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等以下. 高考对正弦定理和余弦定理应用的考查，主要是利用定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题，关键是弄懂有关术语，认真理解题意，难度不大主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数
5、形结合思想等从近几年浙江卷来看，三角形中的应用问题，主要是结合直角三角形，考查边角的计算，也有与导数结合考查的情况.【重点难点突破】考点1 测量距离问题【1-1】【20xx北京市延庆区一模】在相距2千米的两点错误！未找到引用源。处测量目标错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。两点间的距离是_千米.【答案】错误！未找到引用源。【解析】如图，由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x,CAB=75，CBA=60，ACB=180-75-60=45，错误！未找到引用源。 ，在RtABD中，错误！未找到引用源。 （千米），所以错误！未找到引用源。两点间的
6、距离是错误！未找到引用源。 千米.【1-2】如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CDa，同时在C，D两点分别测得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A，B两点间的距离【答案】AB(km)A，B两点间的距离为 km.【1-3】如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离即AB.若测
7、得CA400 m，CB600 m，ACB60，试计算AB的长【答案】【解析】在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos ACB，AB2400260022400600cos 60280 000.AB200 m.即A，B两点间的距离为200 m. 【领悟技法】研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.归纳起来常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达.【触类旁通】【变式一】如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到
8、达，要测出AB的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出ACB，CAB，在ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC60 m，BAC75，BCA45，则A，B两点间的距离为_【答案】【变式二】如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB45，CAB105后，就可以计算A、B两点的距离为 ()A50m B50m C25m D.m【答案】A【解析】由题意知ABC30，由正弦定理，AB50(m)考点2 测量高度问题【2-1】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，
9、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100米，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340米/秒)【答案】【2-2】要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，求电视塔的高度【答案】B【解析】如图，设电视塔AB高为x m，则在RtABC中，由ACB45得BCx.在RtADB中，ADB30，则BDx.在BDC中，由余弦定理得，BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(x
10、)2x24022x40cos 120，解得x40，所以电视塔高为40米 【2-3】如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD(CD所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为，从A处向山顶前进l米到达B后，又测得CD对于山坡的斜度为，山坡对于地平面的坡角为.(1)求BC的长；(2)若l24，15，45，30，求建筑物CD的高度【答案】（1）；（2）.【领悟技法】 已知三边，由余弦定理求，再由求角，在有解时只有一解. 已知两边和夹角，余弦定理求出对对边.【触类旁通】【变式一】如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.
11、【答案】在中， . 【变式二】如图所示，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高.【答案】【解析】在中，由正弦定理得，所以.在中，.考点3 测量角度问题【3-1】在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值【答案】【解析】如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，【3-2】如图，
12、扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中圆心角AOB为，半径OA为1 km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由弧AC、线段CD及线段DB组成，其中D在线段OB上，且CDAO.设AOC. (1)用表示CD的长度，并写出的取值范围；(2)当为何值时，观光道路最长？【答案】（1），；（2）当时，观光道路最长解：(1)在OCD中，由正弦定理，得，所以CDsincos sin ，ODsin ，因为ODOB，即sin 1，所以sin ，所以0，所以CDcos sin ，的取值范围为.又，所以，列表：L()0L()增函数极大值减函数所以当时，L()达到最大值，即当时，观光道路最长【3-3】在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A处(1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？【答案】缉私船沿北偏东60的方向能最快追上走私船，最少要花小时在BCD中，由正弦定理，得sinBCD，得BCD30，BDC30.又，得t.所以缉私船沿北偏东60的方向能最快追上走私船，最少要花小时【领悟技法】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理
