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1、数系的扩充与复数一、知识导学1. 1、复数：形如的数（），复数通常有小写字母表示，即,其中叫做复 数的实部、叫做复数的虚部，称做虚数单位.2. 2、分类：复数()中，当时，就是实数；除了实数以外的数，即当b时， 叫做虚数；当,b时，叫做纯虚数.3. 3、复数集：全体复数所构成的集合.4. 4、复数相等：如果两个复数与的实部与虚部分别相等，记作：=.5. 5、复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内，轴叫做实轴， 轴叫做虚轴.6. 6、复数的模：设=,则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作.(1)； (2)=； (3)；7、共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相
2、反数，则这两个复数互为共扼复数8、复数加、减法的几何意义(1)加法的几何意义复数 是以、为两邻边的平行四边形对角线所对应的复数.(2)复数减法的几何意义复数是连接向量、的终点，并指向被减数的向量所对应的复数.9、重要结论（1）对复数z 、和自然数m、n，有，(2) ，； ，.(3) ，.(4)设，二、疑难知识导析1两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小2则，而，则不一定成立，如时； 3，而则不一定成立； 4若不一定能推出； 5若，则=，但若则上式不一定成立. 6、对于，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会.7
3、、在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论.当时，不总是成立的.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)三、典型例题解析1、判断正误练习判断下面说法是否正确，如果并说明原因。（1）是纯虚数；（2）在复平面内，原点也在虚轴上；分析：先判断正误，若错误考虑如何纠错？或直接改正或举反例试之。（1）错误。因为当时，不是纯虚数。（2）错误。因为原点不在虚轴上。2、探究性问题已知关于的方程有实根，求实数的取值。分析：注意不能用判别式来解。如： 方程有实根 错误的原因是虚数不能比较大小，因此涉及到大小问题的概念和理论如与不等式有关的判别解：设方程的实根为x0，则整理得：由复
4、数相等的条件知：3、复数的分类例题例 实数分别取什么值时，复数是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数。解：实部，虚部（1）当时，Z是实数；（2）当，且时，Z是虚数；（3）当或时是纯虚数4、复数的相等例题例 已知x是实数，y是纯虚数，且满足，求x与y思路分析因为y是纯虚数，所以可设，代入等式，把等式的左、右两边都整理成形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组，求解后得x与b值解答设代入条件并整理得由复数相等的条件得解得 思维诊断一般根据复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数，本题就是利用这一重要思想，化复数问题为实数问题得以解决在解此题
5、时，学生易忽视y是纯虚数这一条件，而直接得出等式进行求解，这是审题不细所致5、复数与复平面上的点的对应关系的例题例 设复数和复平面的点Z（）对应，、必须满足什么条件，才能使点Z位于：（1）实轴上？（2）虚轴上？（3）上半平面（含实轴）？（4）左半平面（不含虚轴及原点）？分析：本题主要考查复数与复平面的点Z（）建立一一对应的关系解：（1）（2）且（3）（4）6、求点的轨迹的例题例 已知关于t的一元二次方程（1）当方程有实根时，求点的轨迹方程（2）求方程的实根的取值范围思路分析（1）本题方程中有三个未知数由复数相等的充要条件能得到两个等式，而结论是要求动点的轨迹方程，联想到解析几何知识，求的轨迹方
6、程就是求关于的方程，于是上面的两个等式正是轨迹方程的参数形式，消去参数t，问题得解（2）由上面解答过程中的知可看作一条直线，由知是一个圆，因此求实根t的范围可转化为直线与圆有公共点的问题解答（1）设实根为t，则即根据复数相等的充要条件得由（2）得代入（1）得即（3）所求点的轨迹方程为，轨迹是以（1，1）为圆心，为半径的圆（2）由（3）得圆心为（1，1），半径，直线与圆有公共点，则，即 ，故方程的实根的取值范围为思维诊断此题涉及到复数与解析几何的知识，综合性较强，学生往往不易入手，审题不到位，且有畏惧心理，是思维受阻的主要因素，在第（2）题求实根的取值范围时还可由（1）（2）消去y建立关于实数x
7、的二次方程，用判别式求出t的范围同时通过本题，同学们要进一步认识，把复数问题转化为实数问题求解的必要性，这是解决有关复数与方程问题惯用的手法，要切实掌握好7、复数的分类例题例 m取何实数时，复数（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？思路分析本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数由于所给复数z已写成标准形式，即，所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题解答（1）当即 时，z是实数（2）当即 当且时，z是虚数（3）当即当或时，z是纯虚数思维诊断研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，学生易忽略这一点如本题易忽略分母不能为0的条件，丢掉，导致解答出错
