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1、限时作业7 基本不等式()及其应用一、选择题1.设x,yR,则“x2+y21”是“|x|+|y|”成立的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:2|x|y|x|2+|y|2x2+y21,(|x|+|y|)2x2+2|x|y|+y22.|x|+|y|.取x0,y,不满足x2+y21,故是充分不必要条件.答案:A2.下列结论正确的是( )A.当x0且x1时,2B.当x0时,2C.当x2时,的最小值是2D.当0x2时,无最大值解析:,当且仅当,即x1时等号成立.答案:B3.若a,b都是正实数,是圆周率,e是自然对数的底数,则下列各式中可能大于a2+b2
2、的是( )A.2(a+b-1) B.()2+ab C.(a+b) D.ab解析:对于A,因为a2+b2-2(a+b-1)(a-1)2+(b-1)20,因此a2+b22(a+b-1);对于B,a2+b2-()2+ab0,因此a2+b2()2+ab;对于D,因为a2+b22abab,所以a2+b2ab.综上,可知只有C满足条件.答案:C4.某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g药品,他先将5 g的砝码放在左盘,将药品放在右盘使之平衡;然后又将5 g的砝码放在右盘,将药品放于左盘使之平衡,则此学生实际所得药品( )A.小于10 g B.大于10 g C.大于等于10 g D.小于等于10 g
3、解析:设左、右臂长分别为t1、t2,第一次称的药品为x1,第二次称的药品为x2,则有5t1x1t2,x2t15t2,所以x1+x25()5210,即大于10g.答案:B5.若实数a、b满足a+b2,则3a+3b的最小值是( )A.18 B.6 C. D.解析:由均值不等式,得3a+3b，当且仅当ab1时取等号，所以3a+3b的最小值是6,故选B.答案:B6.一批货物随17列货车从A市以a km/h匀速直达B市，已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列车之间的距离不得小于（)2 km，那么这批货物全部运到B市，最快需要( )A.6 h B.8 h C.10 h D.12 h解析:第一列货车到
4、达B市的时间为h，由于两列货车的间距不得小于()2 km,所以第17列货车到达时间为+8，当且仅当,即a100(km/h)时成立，所以最快需要8 h,故选择B.答案:B二、填空题7.已知a、bR,a+b+a2+b224,则a+b的取值范围是_.解析:a2+b22ab,当且仅当ab时取“”，2（a2+b2)(a+b)2,即a2+b2 (a+b)2,当且仅当ab时取“”.24-(a+b)a2+b2 (a+b)2,当且仅当ab时取“”,即(a+b)2+2(a+b)-480.解关于a+b的二次不等式，得-8a+b6.答案:-8a+b68.已知x,yR+，且x+4y1,且xy的最大值为_.解析:xyx4
5、y,当且仅当x4y时取等号.答案:9.已知a,b,c都是正实数,且满足log4(16a+b),则使4a+bc恒成立的c的取值范围是_.解析:由条件知,16a+babb,4a+b.由0,得a1.令a-1t,则4a+b20+1636,当且仅当t,即t2时取“”.因此要使不等式4a+bc恒成立,只要c36.又因为c为正数,因此c(0,36.答案:(0,36三、解答题10.已知a,b,c都是正数,且a+b+c1,求证:9.证明:a,b,c都是正数,且a+b+c1,3+2+2+29,当且仅当abc时取等号.9.11.（1）已知a,b是正常数，ab,x,y(0,+),求证：,并指出等号成立的条件.(2)求
6、函数f(x),x(0,)的最小值,指出取最小值时x的值.(1)证明:a,b,x,y都是正数,()(x+y)a2+b2+a2+b2+2ab(a+b)2,当且仅当,即bxay时取“”.,当且仅当bxay时等号成立.(2)解：0x,01-2x1.由(1),知f(x),当且仅当32x2（1-2x)，即x(0,)时取“”.x时,f(x)的最小值为25.12.某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过a米,房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用.
7、(1)把房屋总造价y表示成x的函数,并写出该函数的定义域.(2)当侧面的长度为多少时,房屋的总造价最低?最低总造价是多少?解:(1)由题意，可得y3()+5 800900()+5 800(0xa).(2)y900()+5 800900+5 80013 000,当且仅当x,即x4时取等号.若a4,则当x4时,y有最小值13 000;当0a4,任取x1,x2(0,a且x1x2,y1-y2900()+5 800-900()-5 800900(x1-x2)+16(),x1x2a,x1-x20,x1x2a216.y1-y20.y900()+5 800在(0,a上是减函数.当xa时,y有最小值900()+5 800.综上,若a4,当侧面的长度为4米时,总造价最低,最低总造价是13 000元;当0a4时,当侧面长度为a米时,总造价最低,最低总造价是900()+5 800元.
