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1、第二学期期末高数（下）考试试卷及答案22xex一、 填空题（每空3分，共15分）1 .设 F x2 .曲面z sin x cosy在点的切平面方程是 x y 2z 103 .交换累次积分的次序:dy 02fx, y dx3 x rdy f0x, y dx2Odxxf x, ydy使得格林公式:P一dxdy yP x, y 和 Qx,y在D上具有一阶连续偏导数4 .设闭区域D是由分段光滑的曲线 L围成，则:?Pdx Qdy L成立的充分条件是:其中L是D的取正向曲线；3,31 n5 .级数 -的收敛域是n 1 3n 1, n二、 单项选择题（每小题3分，共15分）x2y1 .当x 0, y0时，
2、函数；的极限是 D3x4y2A.等于0;B.等于1;3C.等于;D.不存在.42 .函数z f x, y 在点 x0,y0处具有偏导数 fx x0,y0 ,f y x0, y0是函数在该点可微分的 CA.充分必要条件；B.充分但非必要条件；C.必要但非充分条件； D.既非充分又非必要条件.3 .设z ex cosy xsiny ,则 dzxi By 0a. e；c. e 1 dx dy ；n4 .若级数an x 1 在xn 1则此级数在x 2处AA.绝对收敛；C.发散；5 .微分方程y 6y 9y3xa. ae ;3xc. x ax be三.（8分）设一平面通过点3,1b. e dx dy ;
3、d. ex dx dy .1处收敛，B.条件收敛；D.收敛性不确定.3xx 1 e 的特解y应设为 Db. ax b e3x;23xd. x ax b e . 2，而且通过x 4 y 3 z直线一,求该平面方程.521解：Q A 3,1, 2 ,B 4, 3,0uurAB 1, 4,2平行该平面r该平面的法向量n 5,2,11, 4,28, 9, 22所求的平面方程为：8x39 y 122 z 20即：8x 9y 22z 59 0四.（8分）设zf xy ,ey，其中f u,v具有二阶连续偏导数，试求2z解：令 u xy, v eyyfu2Zyfufu yxfuueyfuv五.（8分）计算对弧
4、长的曲线积分22e x y dsL其中L是圆周x2 y2在第一象限所围区域的边界R2与直线x 0, y 0解：L L1L2 L3其中：L1 ： x2 y2 R2 x 0, y 0L2： x 0 0 y RL3： y 0 0 x R 3：；一22e x y ds:122F 22e x yds e x y dsLiL 2：i-22e x y dsL3而 e x y ds 2 eRRdt ReRI 02IIe x y dsReydy eR 10L2e x y dsRexdx eR 1022故：e x y dsL六、（8分）计算对面积的曲面积分-ReR 2 eR 1 2八4 ，八z 2x y dS,
5、3其中xyz为平面一一一234解：QDxy：0x20 y 3 3x21在第一卦限中的部分、6134z 2x y dS3屈4 dxdyd 3xy20 dx4、而七.（8分）将函数解：Q八.（8分）2nn I求微分方程:5x4 3xy2y3x24x 3，展开成x的哥级数.3nxndx1,13,33n 13x2y1,122.3xy y dy0的通解.P Q 解：Q 6xy3y2,y原方程为:5x4dxy2dy(3xy2y3)dx3x2y 3xy2 dydx5dty31 3 3y通解为：x13y3x2y 2y3x九.哥级数：y x21 2!2n xi.试写出2.利用第解：1、于是2、令4!6!2n !
6、y x的和函数；（4分）1问的结果求哥级数.（8 分）0 2n !x3x52n 1 x由1知：S通解:1,得:十.设函数0,其中3!5!2nx2x3exx2n2n2!3!1t1 t2zt是由曲线x与平面z t （参数tex且满足:x xe e dxCe x1, c一；故：S x2上连续，且满足条件ty2dv，绕z轴旋转一周而成的曲面0）所围成的空间区域。1、将三重积分f Jx2y2dv写成累次积分的形式（3分）2、试求函数f t的表达式.（7分）解：1、旋转曲面方程为：zx2y2z t x2 y2 ,得:x2y22、由t在xoy面的投影区域为:D x2xy,八y2t1得:X2dvdz1t1 t
7、212tt1记：At21则：ft 1 t22tA两边乘以：tt2 ,再在0,1上积分得:解得:故:04不出2A10t21t2dt4 A1515441t t,1 t225t第二学期期末高数（下）考试试卷及答案填空题（每空3分，共15分）z1.曲线x2y）,绕z轴旋转一周所得到的0旋转曲面的方程是zx2y212.曲线的法平面方程是3.设zf x2在点2x 8y四、1 - /一,2,1 处216z 1 0淇中f u具有二阶连续导数，12，则2zx214 .x 1y 0满足不等式时收敛.nx 1的收敛域是onn 1 2 n1,3单项选择题（每小题3分，共15分）1.设a与b为非零向量，则ar ra.
8、a b的充要条件r rc. a b的充要条件2.平面3x3yA.垂直于z轴;C.平行于xoy 面;3.设函数fx,yr b. arb的充要条件；rr /d. a b的必要但非充分条件.0的位置是BB.平行于z轴;D.通过Z轴.当xy当xy0时0时则下列说法正确的是 Ca. lim f x,y存在且f x,y在点0,0处的 x 0y o两个偏导数也存在；b. lim f x, y存在但f x, y在点0,0处的x 0 y 0两个偏导数不存在；c. lim f x, y不存在但f x, y在点0,0处的 x 0y 0两个偏导数存在；d. lim f x, y不存在且f x,y在点0,0处的 x 0
9、y 0两个偏导数也不存在；x 3 cost4 .曲线L为圆周0 t 2 ,y 3sin tx2y2 nds等于 Ao q2 n 1n 1a. 23;b. 9;60n-102n 13 ;d. 32n 15 .设正项级数un收敛，则必有 Dn 11;d. lim un0.na. lim un1;nUnc. lim unc 0;n.（8分）在平面x y z 1上求一直线,使得它与直线y 1垂直相交。解：方法1:y 1-直线的方向向量为1,0,0z 1它与平面x y z 1的交点为1,1, 1所求直线通过这一点，所求直线的方向向量为：rS 1,1,11,0,00,1, 1故所求的直线方程为:x 1 y
10、 1 z 1011方法2:直线 y z的方向向量为 1,0,0它与平面x y z所求直线通过这一点，1的交点为1,1, 1过交点1,1, 1且与直线x 10 y 1即：x 1故所求的直线方程为：y 1垂直的平面方程为:z 10 z 10或:四.(8分)设z z(x,y)是由方程z3 3xz y 0所确定的隐函数求:z一 和y x 0y 1解:设 F x, y,zz32xz五.解:FxFz2z,3z2Fy 12x,13z22x)2z(6z2 4x(3z2 2x)3（8分）计算曲线积分xe2y dx2y y dy其中L为从O 0,0x 2 2y24的上半圆到A 2,2的一弧段。OB六、（8分）其中解：作Q 2xe2y知与路经无关。 x2,0 ,作新路经OBA折线,xe2y dx20BA2e4 42 2yx e y1 x dx2e4利用高斯公式计算曲面积分，一 222为球面：x2 yz20 ： z 0 取下侧.dy2 4e2y0y dyxz2dydz x22ydzdx y zdxdy,2a2的上半部分的上侧.2
