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1、 1 1M单元推理与证明 M1合情推理与演绎推理图1317M1 在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图13中ABC是格点三角形,对应的S1,N0,L4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是_;(2)已知格点多边形的面积可表示为SaNbLc,其中a,b,c为常数,若某格点多边形对应的N71,L18,则S_(用数值作答)17(1)3,1,6(2)79 (1)把四边形面积分割,其中四个面积为的三角形,一个面积为1的正方形,故其面
2、积为S3;四边形内部只有一个格点;边界上有6个格点,故答案为3,6,1.(2)根据图中的格点三角形和四边形可得14bc,3a6bc,再选顶点为(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)的格点正方形可得4a8bc,由上述三个方程组解得a1,b,c1,所以SNL1,将已知数据代入得S719179.16B7,M1 定义“正对数”:lnx现有四个命题:若a0,b0,则ln(ab)blna;若a0,b0,则ln(ab)ln alnb;若a0,b0,则lnlnalnb;若a0,b0,则ln(ab)lnalnbln 2.其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)16 中,当ab1时,b0,a1,lnabl
3、n abbln ablna;当0ab0,0a1,lnabblna0,正确中,当0ab1时,左边ln(ab)0,右边lnalnbln a0ln a0,不成立中,当1,即ab时,左边0,右边lnalnb0,左边右边,成立;当1时,左边ln ln aln b0,若ab1时,右边ln aln b,左边右边成立;若0ba1b0,左边ln ln aln bln a,右边ln a,左边右边成立,正确中,若0ab0,左边右边;若ab1,ln(ab)ln 2ln(ab)ln 2ln.又a或b,a,b至少有1个大于1,lnln a或lnln b,即有ln(ab)ln 2ln (ab)ln 2lnlnalnb,正确
4、13M1 观察下列等式(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135照此规律,第n个等式可为_13(n1)(n2)(nn)2n13(2n1) 结合已知所给定的几项的特点,可知式子左边共n项,且从(n1)一直到(nn),右侧第一项为2n,连乘的第一项为1,最后一项为(2n1),故所求表达式为:(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)M2直接证明与间接证明20M2,D2,D3,D5 给定数列a1,a2,an,对i1,2,n1,该数列前i项的最大值记为Ai,后ni项ai1,ai2,an的最小值记为Bi,diAiBi.(1)设数列an为3,4,7,1,写出d1,d2,d3的值
5、;(2)设a1,a2,an(n4)是公比大于1的等比数列,且a10.证明:d1,d2,dn1是等比数列;(3)设d1,d2,dn1是公差大于0的等差数列,且d10,证明:a1,a2,an1是等差数列20解:(1)d12,d23,d36.(2)证明:因为a10,公比q1,所以a1,a2,an是递增数列因此,对i1,2,n1,Aiai,Biai1.于是对i1,2,n1,diAiBiaiai1a1(1q)qi1.因此di0且q(i1,2,n2),即d1,d2,dn1是等比数列(3)证明:设d为d1,d2,dn1的公差对1in2,因为BiBi1,d0,所以Ai1Bi1di1BididBidiAi.又因
6、为Ai1maxAi,ai1,所以ai1Ai1Aiai.从而a1,a2,an1是递增数列,因此Aiai(i1,2,n1)又因为B1A1d1a1d1a1,所以B1a1a2an1.因此anB1.所以B1B2Bn1an.所以aiAiBidiandi.因此对i1,2,n2都有ai1aidi1did,即a1,a2,an1是等差数列19M2,H5,H10 直线ykxm(m0)与椭圆W:y21相交于A,C两点,O是坐标原点(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形19解:(1)因为四边形OABC为菱形,所以AC与O
7、B相互垂直平分 所以可设A,代入椭圆方程得1,即t.所以|AC|2 .(2)证明:假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点,且ACOB,所以k0.由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.设A(x1,y1),C(x2,y2),则,km.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点,且m0,k0,所以直线OB的斜率为.因为k1,所以AC与OB不垂直所以OABC不是菱形,与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形10M2 设a,bR,定义运算“”和“”如下:abab若正数a,b,c,d满足ab4,cd4,则()Aab2,cd2 Bab2,cd2Cab2,cd2 Dab2,cd210C 从定义知,abmin(a,b),即求a,b中的最小值;abmax(a,b),即求a,b中的最大值;假设0a2,0b2,则ab2,d2,则cd4,与已知cd4相矛盾,则假设不成立,故min(a,b)2,即cd2.故选择C.M3数学归纳法M4单元综合