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1、求点到平面距离地基本方法适用标准文案求点到平面距离的基本方法北京农大附中闫小川求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热门，也是同学学习中的一个难点 . 本文经过对一道典型例题的多种解法的商讨，归纳出求点到平面的距离的几种基本方法 .例（ 2005 年福建高考题）如图1，直二面角 DABE 中，四边形 ABCD是边长为 2 的正方形， AEEB ， F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE .( ) 求证： AE平面 BCE ；( ) 求二面角 BACE 的大小；( ) 求点 D 到平面 ACE 的距离 .DCFABE图 1( ) 、( ) 解略， ( ) 解以下：一、直接法
2、利用两个平面垂直,直接作出点到平面的距离.如图2, A,l ,AMl , 则 AM. AM 为点 A 到平面的距离 .图 2 / 出色文档适用标准文案解：如图 3，过点 A 作 AGEC ，连接 DG ,CG ，则平面 ADG 平面 BCE ，平面 BCE平面 ACE ，平面 ADG平面 ACE ，作 DHAG, 垂足为 H ，则 DH平面 ACE . DH 是点 D 到平面 ACE 的距离 .在 Rt ADG 中， DHAD DG2 22 3 .AG63GDCHFABE图 3二、平行线法如图 4, Al , l , B 为 l 上随意一点 ,AM, BN, 则 AMBN .点 A 到平面的距
3、离转变为平行于平面的直线 l 到平面的距离，再转变为直线 l 上随意一点 B 到平面的距离 .图 4解：如图 5，过点 D 作 DMAE ，连接 CM ，则 DM 平面 ACE ，点 D 到平面 ACE 的距离转变为直线DM 到平面 ACE 的距离，再转变为点M 到平面 ACE 的距离 .作MNCE,垂足为 N ，出色文档适用标准文案平面 CEM平面 ACE ， MN 平面 ACE ， MN 是点 M 到平面 ACE 的距离 .在 Rt CEM 中， MNEM CM2 22 3 .CE63DCMNFABE图 5三、斜线法利用平面的斜线及三角形相像, 转变为求斜线上的点到平面的距离.如图6、7,
4、lO ，A, Bl ,AM, BN, 若 AOt , 则 AMt BN . 点 A 到BO平面的距离转变为求直线l 上的点 B 到平面的距离 .图6图7解：如图 8， BD 与 AC 的交点为 Q，即 BD平面 ACEQ，DQBQ，点 D 到平面 ACE 的距离与点 B 到平面 ACE 的距离相等 .平面 BCE平面 ACE ， BF平面 ACE ， BF 是点 B 到平面 ACE 的距离 .出色文档适用标准文案在 Rt BCE 中， BFBC BE2 22 3 .CE63DCQFABE图 8四、线面角法如图 9，OP 为平面的一条斜线， AOP ，OA l ，OP 与所成的角为，A 到平面
5、的距离为 d ，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有d l sin .经过 OP 与 垂直的平面与订交，交线与 OP 所成的锐角就是 OP 与 所成的角，这里其实不强求要作出 A在上的射影 B ，连接 OB 得 .图 9解：如图 10， BF平面 ACE ，平面 BDF平面 ACE ，BQF 为 DQ 与平面 ACE所成的角为,则点 D到平面 ACE的距离dDQ s in.由( ) 知二面角 B ACE 的正弦值为6 ，得 sin6 .33 D 到平面 ACE 的距离 d262 3 .33出色文档适用标准文案DCQAFBE图 10五、二面角法如图 11，l， 、 所成二面角的大小为，AB l
6、，AB a ，A点 A 到平面 的距离 AOd ，则有 da sin . 也就是二面角的大小，而不强求作出经过 AB 的二面角的平面角 .图 11解：如图 12，平面 ACD平面 ACEAC ，DQ平面 ACD ，DQAC ，设二面角 DACE 的大小为，则点 D 到平面 ACE 的距离 dDQ sin.由( ) 知二面角 B ACE 的正弦值为6 ，得 sin6 .33 D 到平面 ACE 的距离 d262 3 .33出色文档适用标准文案DCQAFBE图 12六、体积法解：如图 13，过点 E 作 EOAB交 AB于点 O, OE 1.二面角 DABE 为直二面角， EO 平面 ABCD .
7、设 D 到平面 ACE 的距离为 h ，VD ACEVE ACD ,11 S ACE hS ACD EO.33AE平面 BCE ， AEEC .111AD DC EO2 22 3 . h221163AE EC222点 D 到平面 ACE 的距离为 23 .3DCFABOE图 13出色文档适用标准文案七、向量法解：如图 14，以线段 AB 的中点为原点 O ，OE 所在直线为 x 轴， AB 所在直线为 y 轴，过 O 点平行于 AD 的直线为 z 轴，成立空间直角坐标系Oxyz ，AE平面 BCE ， BE平面 BCE ，AEBE，在 Rt AEB中, AB 2, O为AB 的中点， OE 1
8、, A(0, 1,0), E(1,0,0),C(0,1,2).AE(1,1,0), AC(0,2,2).设平面 ACE 的一个法向量为 n( x, y, z) ，则 AE n 0,即 x y 0,ACn0,2y2z 0.解得yx,zx.令 x1, 得 n(1,1,1)是平面 ACE 的一个法向量 .AD/ z 轴， AD2， AD(0,0,2) ，点 D 到平面 ACE 的距离d | AD | | cos AD , n | | AD n |22 3 .| n |33zDCFAOByxE图 14出色文档适用标准文案练习：如图 15，已知 ABCD 是边长为 4 的正方形， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点，GC 垂直于 ABCD 所在平面，且GC2 ，求点 B 到平面 EFG 的距离 .( 答案：2 1111)GDCFAEB出色文档
