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1、 1 吉林省实验中学高三年级第五次模拟考试数学（理）试卷考试时间：120分钟 试卷满分：150分本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间为120分钟第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）（1）已知复数的实部为-1，则复数在复平面上对应的点在 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（2）已知向量,且，则向量与的夹角为（A） （B） （C） （D）（3）设随机变量服从正态分布，若，则=(A) 2 (B) 3 (C) 9 (D)
2、1（4）已知在等比数列中，9，则(A) (B) 5(C) (D) 3（5）已知条件p：；条件q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是 （A） （B） （C） （D）（6） 已知表示两条不同直线，表示三个不同平面，给出下列命题： 若则； 若，垂直于内的任意一条直线，则； 若则； 若不垂直于平面，则不可能垂直于平面内的无数条直线； 若,则. 上述五个命题中，正确命题的个数是（ ）个（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（7）函数的图象大致为 （8）要得到函数的图象，只需将的图象211正(主)视图侧(左)视图俯视图（A）向右平移个单位 （B）向左平移个单位（C）向右平移个单位 （D）向左平移
3、个单位 （9）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是(A) （B） （C） （D）(10)若直线与曲线相交于A、B两点，则直线l的倾斜角的取值范围是 (A) （B） （C） （D）(11)已知定义在上的函数,为其导数，且恒成立，则（A） （B） （C） （D）(12)设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的取值范围是 (A) （B） （C） （D）第卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)（13）如果实数x、y满足关系，则的最小值是 .（14）设，若，则的最小值为 .(15)阅读如图所示
4、程序框图，若输出的，则满足条件的整数共有 个.（16）若从区间内随机取两个数，则这两个数之积不小于的概率为 .三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（17）（本小题满分12分）已知,其中,.（）求的单调递减区间；（）在中,角所对的边分别为, , 且向量与共线，求边长和的值.(18)（本小题满分12分）甲、乙、丙三班进行知识竞赛，每两班比赛一场，共赛三场每场比赛胜者得分，负者得分，没有平局，在每一场比赛中，甲班胜乙班的概率为，甲班胜丙班的概率为，乙班胜丙班的概率为（）求甲班获第一名且丙班获第二名的概率；（）设在该次比赛中，甲班得分为，求的分布列和数学期望
5、（19）（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且，且.（）设点为棱中点，求证：平面；（）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由（20）（本小题满分12分）已知直线与椭圆相交于、两点 （）若椭圆的离心率为，焦距为，求线段的长；（）若向量与向量互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的最大值（21）（本小题满分12分）已知函数（）（）讨论的单调性；（）若对任意恒成立，求实数的取值范围（为自然常数）；（）求证:（，）请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，
6、则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）选修：几何证明选讲如图，圆内接四边形的边与的延长线交于点，点在的延长线上（）若，求的值；（）若，证明：（23）（本小题满分10分）选修；坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为，设是圆上任一点，连结并延长到，使（）求点轨迹的直角坐标方程；（）若直线与点轨迹相交于两点，点的直角坐标为，求的值（24）（本小题满分10分）选修：不等式选讲已知函数，且恒成立.（）求实数的最大值；（）当取最大值时，求不等式的解集. 吉林省实验中学高三年级第五次模拟考试
7、数学（理）试卷答案一、选择题（本大题共12道题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BBADCDDABBCA二、填空题（本大题共4道题，每小题5分，共20分）13 14 15 32 16 三、解答题17（本小题满分12分）(1) 由题意知. 在上单调递减，令，得的单调递减区间 -6分 (2)，,又，即 ，由余弦定理得=7. 因为向量与共线，所以，由正弦定理得. . -12分18（本小题满分12分）解：（1）甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，甲获第一的概率为 2分丙获第二，则丙胜乙，其概率为 4分甲获第一名且丙获第二名的概率为 6分（2）可能取的值为O、3、6 7分甲两场比赛皆
8、输的概率为 8分甲两场只胜一场的概率为 9分甲两场皆胜的概率为 10分的分布列为036P l2分19（本小题满分12分）（）证明：（方法一）由已知，平面平面，且，则平面，所以两两垂直，故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系1分则,所以，易知平面的一个法向量等于，3分所以,所以，4分又平面，所以平面5分（方法二）由三视图知，两两垂直连结，其交点记为，连结,1分因为四边形为矩形，所以为中点因为为中点，所以，且2分又因为，且，所以,且=所以四边形是平行四边形，所以4分因为平面，平面所以平面5分（）解：当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为6分理由如下：因为，设平面的法向
9、量为，由得7分取，得平面的一个法向量8分假设线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于设，则，9分所以10分11分所以，解得或(舍去) 因此，线段上存在一点，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值等于 12分20（本小题满分12分）解：（1），2c=2，即则椭圆的方程为， 2分将代入消去得： 设= 4分（2）设，即 6分由，消去得：由，整理得： 又， 8分由，得：，整理得： 代入上式得：， 10分，条件适合，由此得：，故长轴长的最大值为 12分21.（本题满分12分）解：（1） , 当时，的单调增区间为，单调减区间为；3分 当时，的单调增区间为，单调减区间为；4分（2）令 若, 是增函数, 无解. 5分若,，,是减函数;, 是增函数 , . 6分 若， 是减函数,，7分综上所述8分（3）令（或）此时，所以，由（）知在上单调递增，当时，即，对一切成立，9分，则有，10分 要证只需证11分所以原不等式成立1222. （本小题满分10分）证明：（） 四点共圆，又，5分
