《球的内切和外接.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《球的内切和外接.doc（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、球的“内切”“外接”问题一、球的体积和表面积公式：:； 二、球与多面体的外接和内切定义1.若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则这个多面体是这个球的内接多面体；这个球是这个多面体的外接球。定义2.若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则这个多面体是这个球的外切多面体；这个球是这个多面体的内切球。与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。 三、图1图2图3球与棱柱的组合体问题1.正方体的内切球
2、：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为，球半径为。如图1，截面图为正方形的内切圆，得；2.与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图2作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。3.正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图3，以对角面作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得。4.构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。例1.已知三棱柱的六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱的5个面都相切，求球与球的体积之比与表面积之比。分析
3、：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。图4解：如图4，由题意得两球心、是重合的，过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为，则，正三棱柱的高为，由中，得，典型例题分析：例1.（2010新课标文科）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A.3a2 B.6a2 C.12a2 D. 24a2例2长方体一个顶点上出发的三条棱的长分别是3,4,5，且它的八个顶点在同一个球面上，这个球的表面积是A. B. C. D. 例3.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2厘米的球面上，如果边正棱柱的底面边长为1厘米，那么棱柱体积是 例4. （200
4、8新课标理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _例5（2010新课标理科）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有的棱长都等于，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是A. B. C. D. 例6.半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为，求半球的表面积和体积。例7.（2009全国卷理）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。四、棱锥的内切、外接球问题图5例2.棱长为正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：正棱锥的外接球和内切球的球心都在高上。解：
5、如图5所示，设点是内切球的球心，由图形的对称性知，点也是外接球的球心设内切球半径为，外接球半径为正四面体的表面积正四面体的体积， 在中，即，得，得练习：一个正四面体内切球的表面积为，求正四面体的棱长。（答案为：）【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 ( 为正四面体的高)，且外接球的半径，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。体积分割是处理内切球常用的方法。典型例题分析：例8.（2008福建卷15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .例9.在球面上有P,A,B,C如果PA,PB,PC
6、 两两垂直，PA=1，PB=PC= ,则这个球的体积是 例10.（2008浙江卷）如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O点体积等于 例1. 四面体的三组对棱分别相等，且依次为，该球的体积是 例12.（2009全国卷文）已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于_例13.正四棱锥底面边长和各侧棱长都为，点都在同一个球面上，该球的体积是 例14.（2010辽宁文数）已知是球表面上的点，则球的表面积等于A.4 B.3 C.2 D.例15.(2012新课标理科)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正
7、三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ）A. B. C. D.例16.（2011全国新课标理）。已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=，则棱锥O-ABCD的体积为_例17.（2011辽宁文科）已知球的直径SC=4，。A.,B是该球球面上的两点，AB=2，ASC=BSC=45，则棱锥S-ABC的体积为A. B. C. D.例18.（2008湖北文科）用与球必距离为1的平面去截面面积为，则球的体积为 A. B. C. D. 例19.（2012新课标文科）平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为A. B. C. D. 【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。1
