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1、例说“二分法”思想的应用 “二分法”是高中数学必修内容之一，是现代信息技术与函数、方程知识的有机整合，是求方程近似解的常用方法。利用“二分法”可以帮助我们轻松、快捷解决一些相关的问题。一、利用“二分法”思想巧证不等式 例1. 已知三个正数a、b、c，满足，求证。解析：从所要证的目标的结构上看，可把、看作一元二次方程的两个根，同时构造一个区间。设 利用“二分法”思想，要证目标，只需证a在区间内即可。如图1所示，由于二次函数的图象开口方向向上，只需证因所以a在区间内，即图1二、利用“二分法”思想巧证一元二次方程根的分布 例2. 已知函数，求证： （1）且； （2）方程在（0，1）内有两个实根 证明
2、：（1）利用及，容易证明（略）。 （2）一般地，要证方程在（0，1）内有两个实根，只需证明：对称轴落在区间（0，1）内区间（0，1）端点f(0)，f(1)的符号。而采用“二分法”，其解法简洁明快，只需证明：区间（0，1）两个端点f(0)，f(1)的符号都为正（题目已知条件已给定）在区间（0，1）内寻找一个二分点，使这个二分点所对应的函数值小于0，它保证抛物线与x轴有两个不同的交点（因a0抛物线开口方向向上）。如图2所示，由可知方程在（0，1）内必有两个不同实根。图2 在区间（0，1）内选取二等分点，因 所以结论得证。若不成立可看是否为负若还不成立，再看是否为负。 总之，在区间（0，1）内存在一
3、个分点，使对应函数值为负即可。 例3. 已知函数，求证方程至少有一个根在（0，1内。证明：用“二分法”来证明。首先在区间（0，1）内寻找一个分点，使这个分点所对应的函数值小于0。在区间（0，1）内选二分点， 其次证明区间（0，1）两个端点函数值，至少有一个为正 因为 所以中至少有一个为正，由函数的图象可知方程至少有一个根在（0，1）内。 注意：证方程在区间（m，n）内有两个不同的解，只需证，的符号相同，以及在区间（m，n）找一个二分点t所对应函数值的符号（它与f(m)，f(n)的符号相反）。要证方程在区间（m，n）内至少有一个解，只需证f(m)，f(n)中至少有一个的符号与区间（m，n）内的一个二分点t所对应函数值f(t)的符号相反。三、利用“二分法”思想巧求最值 例4. 函数的最小值为（ ） A. 190B. 171C. 90D. 45 解析：因表示数轴上的动点x到点n之间的距离。 当最小时，x为区间1，19内的任意一个分点； 当最小时，x为区间2，18内的任意一个分点； 当最小时，x为区间3，17内的任意一个分点。依次类推，当最小时，x为区间9，11内的任意一个分点； 当最小时，利用“二分法”思想，当x是区间1，19，2，18，3，17，9，11共同二等分点，即x=10时，f(x)取得最小值，所以 故选C。
