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1、学年论文题 目 基于小波变换的图像去噪算法研究 院 系 专 业 信 息 工 程 学生姓名 xxxx 学 号 xxxxxxxx 指导教师 xxxx 职 称 xxxx 二一一年十二月三十日基于小波变换的图像去噪算法研究摘要：图像是人类传递信息的主要媒介。然而,图像在生成和传输的过程中会受到各种噪声的干扰，对信息的处理、传输和存储造成极大的影响。近年来，小波理论得到了迅速的发展和广泛的应用，由于其具有低熵性、多分辨性、去相关性和选基灵活性等优点，在图像去噪领域得到广泛的应用。与传统的去噪方法相比，小波分析有着很大的优势，它能在去噪的同时保留图像细节，得到原图像的最佳恢复。关键词：小波变换；图像去噪；
2、阈值；MATLAB1 小波去噪问题概述如何消除图像中的噪声是图像处理中古老的课题。长期以来，人们根据图像的特点、噪声的统计特征和频谱分布的规律，提出和发展了不同的去噪方法。图像去噪存在一个如何兼顾降低图像噪声和保留细节的难题，用滤波器对非平稳信号处理时不能有效地将信号高频和由噪声引起的高频干扰加以区分。具有“数字显微镜”之称的小波变换在时频域具有多分辨率的特性，可同时进行时频域的局部分析和灵活地对信号局部奇异特征进行提取以及时变滤波。利用小波对含噪信号进行处理时，可有效地达到滤除噪声和保留信号高频信息，得到对原信号的最佳恢复。目前，小波图像去噪方法已成为去噪的一个重要分支和主要研究方向，在过去
3、的十多年，小波方法在信号和图像去噪方面的应用引起学者广泛的关注。小波图像去噪方法大体经过了五个阶段：第一阶段早在1992年，Mallat提出奇异性测的理论，从而可以利用小波变换模极大值的方法结合边缘检测来去除噪声。第二阶段是小波图像萎缩法：将含噪信号做正交小波变换，然后对其系数进行阈值操作得到去噪号。1992和1995年，Donoho等提出非线性小波变换阈值去噪法，James S. Walker提出自适应树小波萎缩法，去噪效果相当好。1995 年，Coifman 和Donoho在阈值法的基础上提出了平移不变量小波去噪法，它是对阈值法的一种改进。第三阶段是多小波去噪法。1994年Geronimo
4、, Hardin及Massopus构造了著名的GHM多小波，它既保持了单小波所具有的良好的时域与频域的局部化特性，又克服了单小波的缺陷。第四阶段是基于小波系数模型的去噪法：将小波与贝叶斯、隐式马尔可夫、多尺度随机过程等模型结合起来，可获得满意的去噪效果。第五阶段是最近提出的脊波、曲波去噪法。2 小波去噪原理数学上，小波去噪问题的本质是一个函数逼近问题。即如何在由小波母函数伸缩和平移版本所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则寻找对原信号的最佳逼近以完成原信号和噪声信号的区分。这个问题可以表述为： 由此可见小波去噪方法也就是寻找从实际信号空间到小波函数空间的最佳映射(以便得到原信号的最佳恢复。从信
5、号学的角度看小波去噪是一个信号滤波的问题，而且尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波但是由于在去噪后还能成功地保留图像特征所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见小波去噪实际上是特征提取和低通滤波功能的综合。其流程框图如图1所示。图1 小波去噪流程框图在早期，人们通过对边缘进行某些处理以缓解低通滤波产生的边缘模糊。在这一点上虽然它们同小波去噪很相似，但是小波变换之所以能够很好地保留边缘，是因为小波变换的多分辨率特性。小波变换后，由于对应图像特征边缘等处的系数幅值较大，而且在相邻尺度层间具有很强的相关性，所以便于特征提取和保护。在小波分析中，应用最广泛得无疑是信号处理和图像处理。而在这
6、两个领域中，应用最多的是信号跟图像的降噪。由于在正交小波中，正交基的选取比传统方法更接近实际信号本身，所以通过小波变换可以更容易地分离出噪声或其他我们不需要的信息，因此在图像去噪方面小波分析有着传统方法无可比拟的优越性。设是中的正交小波基，则对于任意的，有如下展开： (1)其中 。当时，充分逼近，因此，任取，可选到充分大的，使得在上的投影： (2)记的正交投影算子为，则上式可以表示为： (3)在数学上，为了方便的进行表示，可假定，并认为，因此，关于的分解，可以近似的认为是关于的分解。因为： (4)有： (5)其中，这样的分解是唯一的。事实上，因为，所以存在着，使得成立。其中。显然： (6)其中
7、为向及投影的正交投影算子。且，。记： (7)则有： (8)一般地： ， (9)若记为的如下算子（）： (10)把分解为和的分解过程称为有限正交小波分解，对于数字图像处理来说，这一分解形式特别有用。我们可以把定义为待分解的数字信号，则分解过程完全是离散的。同样，也可以从和出发来重构，因而通过模拟化可得到。若是数字信号，则这一模拟过程可以省略。记的共扼算子分别为 ,即有： (11)由于： (12)所以： (13)即为由和来重构的算法，重构过程也可由式15表示： (14)二维塔式快速小波变换的分解过程如图2所示，重构过程如图3所示。图2 二维小波分解示意图图3 二维小波重构示意图图像经过小波变换后，
8、能够获得良好的空间一频率多分辨率表示，小波变换具有以下主要特征：（1）不仅保持原图像的空间特性，而且很好的提取了图像的高频信息。在低频处有很好的频率特性，在高频处有很好的空间选择性；（2）小波分量有方向选择性，分为水平、垂直、斜向，这些特性都和人类的视觉特性相吻合；（3）能量主要集中在低频子带图像；（4）低通模糊子图具有很强的相关性，水平子带图像在水平方向相关系数大，而垂直方向小；垂直子带图像在垂直方向相关系数大，而水平方向小；斜子带图像在垂直方向和水平方向相关系数都小。阈值的选择是小波去噪中最关键的一步。在去噪过程中，小波阈值起到了决定性作用：如果阈值太小，则施加阈值后小波系数将包含过多的噪
9、声分量，达不到去噪的效果；反之，如果阈值太大，则去除了有用的成分，造成失真.所以对阈值的估计非常重要。目前普遍采用的是Donoho和Johnstone统一阈值。其中，为噪声标准方差, 为信号的尺寸或长度。然而，在实际环境中，图像中的噪声标准方差是不能知道的，因此在选取阈值时，要对用估计方法来确定噪声标准方差。其中较常用的估算方法多采用如下公式： (15)其中是小波分解尺度。3 小波去噪基本方法3.1 基于模极大值的图像去噪法1992年, Mallat提出用奇异点2模极大值法检测信号的奇异点，根据有用信号和噪声的小波变换在奇异点的模极大值的不同特性，采用多分辨率理论，由粗及精地跟踪各尺度j 下的
10、小波变换极大值来消除噪声。其去噪算法是：步骤1: 对含噪图像进行小波变换。步骤2: 提取小波分解中第一层的低频图像, 跟踪该尺度下的小波变换极值点。步骤3: 令j = 1, 对第一层低频图像进行小波变换, 提取第二层低频图像信号, 且以步骤2 中的小波变换极值点为参考, 清除幅值减小的极值点, 保留幅值增加的极值点。步骤4: 令j= 2, 3, , 重复步骤3。步骤5: 重构图像, 得到去噪后的图像。模极大值法主要适于图像中混有白噪声且图像中含有较多奇异点的情况，去噪后的图像没有多余振荡，能获得较高的信噪比，保持较高的时间分辨率。另外，模极大值法要利用复杂的交替投影法来进行重构小波系数，因而计
11、算速度非常慢且有时不稳定。3.2 小波萎缩法3.2.1 阈值萎缩法阈值萎缩法去噪的算法为:步骤1: 选择合适的小波基并确定小波分解的层次N 对含噪图像进行小波变换, 得到小波分解系数。步骤2: 在小波变换域设定阈值对小波系数进行处理, 获得新的小波系数。硬阈值函数： （16）软阈值函数： （17）w表示小波系数,T为给定阈值,sign(*)为符号函数。步骤3: 通过小波逆变换, 重构图像, 得到去噪图像。3.2.2 比例萎缩法它是将每一个带噪系数乘以一个比例系数来对原系数进行估计。目前最具代表性的比例萎缩法是利用最大似然准则的LAWML 和利用最大后验概率准则的LAWMAP。相对来说，比例萎缩
12、去噪后的重建误差比阈值萎缩法小，但重建的信号没有阈值萎缩那样光滑且不利于信号的压缩。谢杰成等提出一些改进措施。3.2.3 自适应树小波萎缩法信号在各层相应位置上的小波系数往往具有很强的相关性，而噪声具有弱相关或不相关的特点，根据对小波系数树结构及在边缘处呈现的所谓“父子”相关性，将小波尺度的相关信息和阈值结合起来，能较好的将边缘结构从噪声中区分开来，这样可对图像进行去噪。陈莹瑞等提出一种将小波变换四叉树的统计特性和小波收缩结合起来的图像去噪新方法。3.3 多小波去噪法在信号去噪中多小波优于标量波。Jean-Luc Starck 提出通过合并邻域系数的办法来进行多小波阈值化处理图像噪声, 去噪效
13、果超过了单小波, 优于传统的方法。多小波去噪算法为:步骤1: 运用一个预滤波器将含噪图像转变成多流数据。步骤2: 对预处理后多流数据执行多小波变换,得到多小波系数。步骤3: 对多小波系数阈值化。步骤4: 对阈值化后的多流数据IDMW T。步骤5: 对IDMW T 后的数据进行后滤波处理,得到去噪图像。3.4 基于小波系数模型的去噪法小波去噪中，小波系数模型非常重要，只有在成功的小波系数模型上，才可能提出成功的去噪方案。 S. Grace Chang提出基于上下文模型的空间自适应小波去噪法, 结果表明图像质量好。Grouse 等提出一种基于小波域隐式马尔可夫模型的统计信号处理结构, Hua Xie 和Alek Sandra Pizurica运用有关小波系数空间族的先验知识，采用马尔可夫随机场模型进行图像去噪。利用多尺度随机过程对小波图像系数进行建模，通过阈值判断和邻域判断相结合的方法区分对应边缘处的系数，然后对边缘区和非边缘区的小波系数进行不同的估计, 达到图像去噪的目的。4 Matlab仿真实验%读入原始图像并显示i=imread(lena.bmp);subplot(2,2,1)
