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1、 http:/ 宝山家教圆中的分类讨论由于圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，经常会导致其答案的不唯一性。如：点与圆的位置关系，点可能在圆内，也可能在圆外；两条弦的位置关系，可能在某一条直径的同侧，也可能在直径的异侧；圆与圆相切，可能外切，也可能内切，等等。因此，求解圆的有关问题时，要注意分类讨论思想。 一、点与圆的位置关系不唯一性 例1.若所在O所在平面内一点P到O上的点的最大距离为a，最小距离为b（ab），则此圆的半径为（ ）。 （A） （B） （C）或 （D）a+b或ab 分析：P可能在圆内，也可能在圆外。 图11 图12 P在圆内时。如图11。 连接O、P所在的直线交O于A、B
2、。 则PA=a，PB=b 直径AB=PA+PB=a+b，半径OA=OB=AB=（a+b） P在圆外时。如图12。 此时直径AB=PAPB=ab，半径OA=OB=AB=（ab） 由可知，应选（C）。 二、弦与弦的位置关系不唯一性 例2.O的半径为5cm，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之间的距离是（ ）。 （A）7cm （B）8cm （C）7cm或1cm （D1cm 分析：弦AB与CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。 图21 图22 弦AB与CD在圆心的同侧。如图21。 过O作弦AB的垂线，交AB于M，交CD于N。连接OB，OD。 ABCD，OMAB，ONCD 由垂径定
3、理，BM=AB=3cm，DN=CD=4cm，又OB=OD=5cm 在RtBMO中，OM=4cm，同理ON=3cm MN= OMON=43=1 cm 弦AB与CD在圆心的异侧。如图22。 此时，MN=OM+ON=4+3=7cm 故选（C）。 例3如图，已知AB是O的直径，AC是O的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出CAD的度数。 分析：弦AC与弦AD可能在直径AB的同侧，可能在直径AB的异侧。 弦AC与弦AD在直径AB的同侧。如图31。 连OC、OD。由OC=OD=AB=1，AC= OC+OD=AC AOC=90，CAO=ACO=45 又OA=OD=AD，DAO=60
4、DAC=DAOCAO=15 弦AC与弦AD在直径AB的异侧。 此时，DAC=DAO+CAO=115 三、点在直径上的位置不唯一性 例4已知O的直径AB=10cm，弦CDAB于点于点M。若OM：OA=3：5，则弦AC的长为多少？ 分析：垂足M可能在半径OA上，也可能在半径OB上。 M在半径OA上。如图41。 连接OC。OC=OA=AB=5cm， 又OM：OA=3：5，OM=3cm AB是直径，弦CDAB 在RtOMC中， MC=4cm 又AM=OAOM=2cm 在RtAMC中，AC=2（cm） M在半径OB上。如图42. 此时，AM=OA+OM=8cm AC=4（cm） 四、弦所对圆周角的不唯一
5、性 例5圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（ ）。 30或60（B）60（C）150（D）30或150（A） （B） 分析：弦（不是直径）所对的弧有两条，一条优弧，一条劣弧， 因此，一条弦所对的圆周角也有两个，并且这两个圆周角互补。 如图5。劣弧所对的角为ACB，优弧所对的角为ADB。 由AB=0A=OB，AOB=60 ACB=AOB=30 ADB=（360AOB）=（36060）=150 故选（D） 五、圆与圆的位置关系不唯一性 例6如果两圆相切，两圆的圆心距为8cm，圆A的半径为3cm，则圆B的半径是（ ）。 5cm （B）11cm （C）3cm （D）11cm或5cm（A
6、） （B） 分析：圆与圆相切，可能是内切，也可能是外切。 两圆外切。如图61。AB=8+3=11cm 两圆内切。如图62。AB=83=5cm 故选（D） 六、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一性 例7已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm，则这两个圆的圆心距为 。 分析：两圆圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。 圆心在公共弦的异侧。如图71。 连接OA，OA。由圆的对称性，O O垂直平分公共弦AB。 AD=AB=3 在RtA OD中，OD=4 在RtA OD中，OD= O O= OD+ OD=4+ 圆心在公共弦的同侧。如图72。 此时，O O= OD OD=4 故这两个圆的圆心距为4+或4。http:/ 10年专注，8万上海家长首选朗朗家教网！
