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1、积分第一中值定理如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，g(x)在(a,b)上不变号，并且g(x)在闭区间a,b上是可积的，则在a,b上至少存在一点，使得成立。证明如下：由于g(x)在闭区间a,b上不变号，我们不妨假设g(x)0,并且记f(x)在闭区间a,b上的最大值和最小值为M和m,即mf(x)M,我们将不等式两边同乘以g(x)可以推出，此时对于任意的xa,b都会有成立。对上式在闭区间a,b上进行积分，可以得到bbbmg(x)dxf(x)g(x)dxMg(x)dx。aaa此时在m,M之间必存在数值,使得mM,即有成立。由于f(x)在区间a,b上是连续的，则在a,b上必定存在一点，使f()成立。
2、此时即可得到bbf(x)g(x)dxf()g(x)dx,aa命题得证2.2积分第一中值定理的推广定理：(推广的第一积分中值定理)若函数f(x)是闭区间a,b上为可积函数，g(x)在a,b上可积且不变号，那么在开区间(a,b)上至少存在一点，使得成立。推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法。证法1:由于函数f(x)在闭区间a,b上是可积的，g(x)在a,b上可积且不变号，令xxF(x)f(t)g(t)dt,G(x)g(t)dt,很显然F(x),G(x)在a,b上连续。并且aabbF(a) 0, F(b) f(t)g(t)dt , G(a) 0,G(b) a由柯西中值定理即可得到F(
3、b) F(a) F(G(b) G(a) G (化简，即bf(t)g(t)dt aba g(t)dt a根据上式我们很容易得出 bb. f(t)g(t)dt f()。g(t)dt , F( ) f( )g( ) , G( ) g()(a,b),f( )g()g()g(t)dt, (a,b),命题得证证法2:由于函数g(x)在a,b上可积且不变号，我们不妨假设g(x)0o而函数f(x)在闭区间a,b上可积，我们令minff(x)|xa,b,Msupf(x)|xa,b。假设F(x)是f(x)在闭区间a,b上的一个原函数，即F(x)f(x),xa,b。我们就可以得到下面等式b此时由于g(x)0,则会有
4、ag(x)dx0,由于存在两种可能性，那么下面我们就要分两种情况以下我们分两种情形来进行讨论：bb(1) .如果g(x)dx0f(x)g(x)dx0,那么对于(a,b)aa都有包成立。bb(2) .如果g(x)dx0g(x)dx可得aa我们记此时我们又分两种情形继续进行讨论：bf(x)g(x)dx(Im-a-bM成立，则此时一定就存在mM,可以使得ag(x)dxmf(xi),f(x2)M,我们不妨假设xix2,这其中xi,x2a,b。因为F(x)f(x),xa,b,则会有F(xi)f(Xi)f(x2)F(X2)o此时至少存在一点(Xi,X2),使得F()f()，即有成立，从而结论成立(II M
5、 ,因为 g (x)dxa得x 为心,恒有g(x) 0bg(x)dxabf (x)g(x)dx ,因为 M ,则有而且我彳门已知Mf(x)g(x)0,xi0 Myif (x)g(x)dxbMaf (x)dx 0。0,此时一定存在区间Mb,(a,b)(其中ai匕)，使于是ai,bi(a,b)，使得f()如果不存在一个a,bi(a,b),使得f()M,则在闭区间xi,yi上必定有0。Mf(x)0及g(x)0成立，从而使得Mf(x)g(x)bi如果JMf(x)g(x)dx0,由达布定理在ai,bi上有Mf(x)g(x)N。，这与Mf(x)g(x)0矛盾。b如果 Maif (x)g(x)dxbb0a,b,使f(x)g(x)dxf()g(x)dx,(a,b),aa定理证毕
