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1、证明线线垂直在棱长为a的正方体OABC-O1 A1B1C1中，E、F分别是AB. BC上的动点，且AE=BF，求证：A1FLC1E.【证明】 以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 Ai(a,0, a), C1(0, a, a).设 AE=BF=x,：.E(a, x,0), F(ax, a,0).一一了一 ,、.A1F=(x, a, a), C1E=(a, xa, a).一一亍一 ,. A1RC1E=(x, a, a)(a, xa, a)=axaxa2+a2=0,AqE，即 A1FC1E.解答：法一 AB=aAC=b, AA1=c,则由已知条件和正三棱柱的性质，得lal = lbl =
2、 lcl = 1, a c=b c=0, AB1=a+c, AM=|(a+b),.AB MN=(a+c(%+，+=)=?+?cos 60+00+0+=0.J-乙乙T乙 乙i一 一.AB1MN,A AB1MN.法二 设AB中点为O,作OOAA.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得11-；33 11A(-, 0,0), Bq, 0,0), C(0,项，0), N(0, M 4), BQ, 0,1),.M 为 BC 中点，：.M(4,乎，0).：.MN=(4,乎，,疝= (1,0,1),:.Mln- ae1=-1+0+4=0.aMevae1,aab1mn.10.在正方体ABCD A
3、BCD中， 1111 点.证明：(1) AB GE, AB EH；(2) A归平面ED.已知E、F、G、H分别是Cq、BC、CD和A&的中解析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A (0, 0,1)1),由中点性质得E1,1,则 AB1=(1，0，1)，(、F1,V(1EE=I2,12,0,071)2J11(1、对(EH=-1、1, 0、J1v 2 设正方体棱长为1,则A(0, B1(1,0,1), C1 (1,1,1), D1(0,1, H1, 2, 1.1)9H2 1 2，2J1 n2 J,VAB =2曲，AB E
4、fi=1X -a+1X=0AB UE, AB EH,即 AB GE, 11(1.At=s, 1,V21) ,2V乙)11一(UE= 1, 0-11, EF= 1AB EH.11-2.*.AE1 . UF+0=0, 12 2A EE=+0=0, 122AtEF, AE；EE，即 AGDF, 又 BFnDE=D； AAG平茴 EFD.1AGDE.118.(本小题满分16分)如图，在棱长为1的正方体ABCD-AlB1C1D1中，E、F分别是DDBD的中点，G在棱CD上，且CG=1 CD.(1) 求证：EFB1C；(2) 求EF与C1G的夹角的余弦值.解：如图，建立空间直角坐标系，cosEF, C则鸟(1,0,1), C(1,1,0), E(0,1, 5, F* 2, 0), G(4，1,0), ,1,1).(1)证明：ef=(2,2,2),*=(0,1,1), 一 *:.EF- B1C=0.AEFB1C.-一 ，1 八 -(2)C1G=(4, 0,1),EFqGI2TFIIC_GI即直线EF与CG的夹角的余弦值为
