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1、弹性波场理论基本概念介绍引言测绘是一门数学性很强的学科，许多数学的理论在测绘中应用非常的普遍。如最小二乘法，最小范数法，回归分析法，各种曲线拟合法，蒙特卡罗法，模拟退火法，遗传算法，等等。只要是在数学领域可以应用的方法，在测绘的实际应用中同样可以。同时，测绘学科也是一门与地球物理紧密相关的学科，在地球物理中的很多理论方法在解决测绘问题中都起到了非常重要的作用。如流体力学的应用，弹性力学的应用，等等。本文主要是介绍一下地球物理学的关于弹性波场的理论，最后做了简要的展望。弹性波场就是在弹性介质中传播的波。弹性介质在外力或扰动的作用下会发生体积和形状的变化（称为形变），产生所谓应变。应变可分为纵向（
2、或胀缩）应变和横向（或剪切）应变。这些应变用弹性常数来表示。当一扰动作用于均匀各向同性完全弹性介质时，在弹性介质内有胀缩应变的纵向位移形式向前传播的纵波存在，同时也有以剪切横向位移形式向前传播的横波存在。纵波传播速度比横放传播速度快，在地震时纵波比横波先到。地震波的实质就是地下岩石中传播的弹性波。在地震波传播范围内绝大部分岩石都可以近似地看成理想弹性体或完全弹性体。因此弹性力学的许多理论和概念可以引人地震勘查中来。在这里我们重复了一些弹性力学的概念，是为了将它们引伸到地震勘查范围中来，着眼点是从地震勘查的角度描述这些基本概念。一 应力和应变（一）应力当弹性体在外力作用下发生形变时，总有一种阻止
3、弹性体形变，欲恢复弹性体原状的内力，这种内力称为内应力，简称应力。应力可定义为单位面积上的内力。注意，应力的量纲不是力的量纲而是单位面积上力的量纲，因此有的书将应力称为“胁强”。根据力的分解定理，可将弹性体内任意方向的应力分解为垂直于单位面积的法向应力和相切于单位面积的剪切应力。描述弹性体内某一点M的应力，在直角坐标系中常取一小平行六面体、六面体的每个面都垂直坐标轴（图1），考虑这些面上的应力，可得九个应力分量，即法向应力zzxx，yy下标的第一个脚码i表示应力的作用方向，第二个脚码j表示应力作用在垂直j轴的ij平面上。弹性体处在静平衡时这些应力互相抵消。我们已知，由于=,9个应力分量ijji
4、只有六个是独立的。（二）应变当弹性体受到应力作用，产生体积和形状的变化，这种变化称为应变。弹性体在外力作用下可产生上述两种应变的综合，正如前述，这两种基本类型的应变正好对应着地震勘查中的纵波和横波。在连续弹性介质中，在力的作用下发生形状变化时，我们说介质受到了形变。于是，在物质内部，在一直角坐标系中，任一点P（x，y，z）的位置移动到邻近位置Q（x+,x，y+,y，z+,z）点，产生一个位移矢量U（图2）_+虫工+加:、尸与z-Az)7TZ第#页共6页第#页共6页图2位移示意图1.1)其沿三个坐标轴的分量分别用u，v，w来表示。P点附近的位移分量可由泰勒级数展开式给出。duduQuu+,x+，
5、y+AZ+-dxQyQzldvdvQvv+,x+，y+,z+,dxQyQzdwQwQww+,x+，y+AZ+-dxQyQz在弹性波中主要讨论小变形，因此高次项可忽略不计，对上式稍加变化，可得u1vu1uw1vu1uwu+x+(+)y+(+)z-(一)y+()zx2xy2zy2xy2zxv1vu1vw1wv1vuv+y+(+)x+(+)z-一(一)z+(一)x(1.2)y2xy2zy2yz2xyw1uw1vw1uw1wuw+z+(+)x+(+)y-()y+(一yz2zx2zy2zx2yz引入下列符号：1wv1uw1uuQ=(一),Q=(一-),Q=(一)x2yzy2zxz2xzu1uve=e=e
6、=(+)xxxxyyx2yx(1.3)v1vwe=e=e=一(+)yyyyzzy2zyw1wue=e=e=(+)zzzzxxz2xz由这些表达式可以把位移分量式(1.2)表示成下列形式：u+(Qz-Qy)+(ex+ey+ez)yxxxyxzxv+(Qx-Qz)+(ex+ey+ez),(L4)zxyxyyyzw+(Qy一Qx)+(ex+ey+ez)xyzxzyzz由此可见，这些表达式的第一项为p点的位移分量，第一个括号中的各项相当于一个体积元的纯转动，第二个括号中的各项与此体积元的应变关系。应变分量e,e,e表示平行于X,y,z轴的简单伸长，称为线应变。其余三个分量xxyyzze,e,e为形变的
7、切变分量,可以证明他们分别等于原始直角体积元在xy,yz,zx平面xyyzzx000内的角度变化。体积元受力后的体积相对变化，可以用体变系数9来描述，按体积相对变化的定义可得uvwxyz(1+)一xyzdv一dv9=dvxyzxyz(1.5)uvw=+=e+e+exyzxxyyzz据数学场论可知，上述体变系数的表达式恰好是位移向量U的散场，所以(1.5)式亦可以写成：1.6)uvw+=divUxyz这就告诉我们一个向量场的散度在弹性波传播理论中的物理意义体现为弹性介质体积的相对变化(膨胀或压缩)二 应力与应变的关系第#页共6页第#页共6页对大多数固体而言，在弹性极限范围以内，测得的应变与外作用
8、力成比例。这个规律由广义虎克定律描述。若固体中6个应力分量中的每一个都是6个应变分量的线性函数，在一般情况下，应力与应变关系中将出现6X6=36个弹性系数。但在各向同性的理想弹性体中，由于各向同性所具有的对称性，弹性常数减少为两个，应力与应变的关系可写成下列虎克定律形式：b九9+2pe,bpe、xxxxxyxyb九9+2pe,bpe，yyyyyzyzb九9+2pe,bpezzzzzxzx1.6)式中弹性系数九和卩就是著名的拉梅常数。由上式还可看出beji,jx,y,zi工jlJp,当卩值较大时，e就变小，这说明卩的物理意义是阻止剪切应变(e)的，因此常称为ijij剪切模量。除九和卩夕卜，还常用
9、一些其他弹性常数来描述应力和应变的关系，最常用的有杨氏模量E，泊松比b，体积压缩模量K.他们的定义分别是：杨氏模量E表示圆或多角形柱形,在其一端受力，侧面为自由面，所加应力与伸出之比，即bEexx泊松比b则是上述实验中，横向缩短与纵向伸长之比，即1.7)eb旷exx体积压缩模量K表示当固体受均匀流体静压力时，所加压力与体积变化之比1.8)1.9)考虑到上述实验只有b应力，其余5个应力分量为零。由方程式(1.6)和E，b，Kxx的定义可得出弹性常数之间的关系(1.10)(1.11)(1.12)3上述弹性常数都是正数，泊松比是小于1的数，在00.5之间。松软和不胶结物质泊松比可达0.45,坚硬岩石
10、泊松比值很低。液体没有剪切应变，其卩0,b0.5第#页共6页1.13）三 运动方程波动是弹性体内相邻质点问应力的变化，从而引起质点问应变的传递。研究波动应该考虑应力不平衡的状态。仍以小六面体为例。若让作用在每个面上的力由作用在这个面中心的应力乘上它的面积来表示，在应力不平衡的情况下，从一个面到另个面应力分量是要发生变化的。此外小六面体还受体力F作用。体力F的三个分量分别用X,Y,Z表示。根据牛顿第二定律我们可得出沿x，y，z方向的运动方程2ubbbp=xx+x+xz+pXt2xyz2vbbb+pYp=x+”十yzt2xyz2ubbbp=zx+zy+zz+pZt2xyz将应力分量表达式（1.6）
11、代入便可得到在均匀各向同性完全弹性介质中用位移表达的运动方程（亦称拉梅方程）2udp=（九+卩）吓2upxt2x1.14）2vQp=（九+y）+2v+pY，t2y2wdp=（九+y）+yV2w+pZt2z“式中V2为拉普拉斯算符。若将式（1.14）用向量形式表示,则可得2up（X+y）grad0+yV2u+pF（1.15）t2对上式分别取散度和旋度,可得2X+2yV2=divF（1.16）t2p1.17）式中ro=rotu式（1.16）和式（1.17）说明。在两种不同外力作用下,在弹性介质中产生两种不同的扰动，式（1.16）表明在胀缩力表明在胀缩力divF作用下，介质产生由体变系数决定的胀缩扰动。式（1.17）表明在旋转力rotF作用下，介质将产生由ro决定的形变扰动。这两种扰动在介质中独立存在。若用标量位的梯度和矢量位的旋度米来表示位移矢量和力矢量，并引入速度，则可得到最常见的用为函数表示的
