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1、高一数学必修1各章知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 拟定性如：世界上最高的山(2) 互异性如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y(3) 无序性: 如：a,b,c和a,c,b是表达同一个集合3.集合的表达： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1) 用拉丁字母表达集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表达方法：列举法与描述法。u 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集：N*或 N+， 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R1） 列举法：a,b,c2） 描述
2、法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表达集合的方法。xR| x-32 ,x| x-323） 语言描述法： 例：不是直角三角形的三角形4） Venn图:4、集合的分类：(1) 有限集：具有有限个元素的集合 注意：不是空集，而是具有元素的一个集合(2) 无限集：具有无限个元素的集合(3) 空集：不含任何元素的集合。只有一种表达方法，即例：x|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：有两种也许（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2“相等”关系：A=B (55，且55，则5=5)实例：设 A=x|
3、x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即： 任何一个集合是它自身的子集。AA真子集:假如AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)假如 AB, BC ,那么 AC 假如AB 同时 BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有n个元素的集合，具有2n个子集，2n-1个真子集,2n-2个非空真子集。三、集合的运算运算类型交 集（相同的部分）并 集（两者之和）补 集（剩余的部分）定 义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB由所
4、有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB（读作A并B），即AB =x|xA，或xB)设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）SA记作，即CSA=韦恩图示SA性 质AA=A A=AB=BAABA ABBAA=AA=AAB=BAABABB(CuA) (CuB)= Cu (AB)(CuA) (CuB)= Cu(AB)A (CuA)=UA (CuA)= 例题：1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合a，b，c 的真子集共有 个
5、 3.若集合M=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x0，则M与N的关系是 .4.设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得对的得有40人，化学实验做得对的得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。6. 用描述法表达图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=(x,y)|(0x5/20y3/2)(-2x0-1y0)7.已知集合A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若BC，AC=，求m的值解：可求得A=-4,2 B=2,3 若BC，AC=则3C且2、-
6、4均不属于C将x=3代入C 9-3m+m-19=0 解得 m=5或-2 若m=5则 C=x|x-5x+6=0=2,3 所以m=5不成立舍去 若m=-2则 C=x|x+2x-15=0=-5，3 所以m=-2也成立 综上所述m=-2二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B是非空的数集，假如按照某个拟定的相应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一拟定的数f(x)和它相应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相相应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意：1定义域：
7、能使函数式故意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的重要依据是：(1) 分式的分母不等于零； 例a/b，则 b0(2)偶次方根的被开方数不小于零； 例nx，则当n为偶数时，x0 (3)对数式的真数必须大于零； 例 ab ，则 b0(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1. 例ab,ab ，则 a0且a1 (5)假如函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都故意义的x的值组成的集合. 例 （x2+3）/(x2-3x+1)， 则 x2-3x+10(6) 指数为零,底不可以等于零。 例 ab ，则当a=0时，b不能为0(7)实际问题中的函数的
8、定义域还要保证实际问题故意义.2值域 : 先考虑其定义域(1)观测法:f(x)=,值域为y|y0(2)配方法：f(x)=x2+6x+12使用配方法即f(x)=(x+3)2+3值域为3,+)f(x)=4x-62x-5=(2x-3)2-14值域为-14,+)(3)代换法:f(x)=x+1-x，令t=1-x,则x=1-t2，f(x)=1-t2+t=）+，值域为（，。f(x)=x1-x2+x2，则-1x1，令x=sin（|），则f（x）=sincos+sin2=sin2+(1-cos2)=+sin(),补充：、函数三要素：（1）构成函数三个要素是定义域、相应关系和值域由于值域是由定义域和相应关系决定的
9、，所以，假如两个函数定义域和相应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和相应关系完全一致，而与表达自变量和函数值的字母无关。、相同函数的判断方法：（1）表达式相同（与表达自变量和函数值的字母无关）；（2）定义域一致 (两点必须同时具有)、值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和相应法则，不管采用什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。 3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值
10、y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C= P(x,y) | y= f(x) , xA 。 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也也许是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2) 画法A、 描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些相应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来。图象变换法：（请参考必修4三角函数
11、）常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表达5映射一般地，设A、B是两个非空的集合，假如按某一个拟定的相应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一拟定的元素y与之相应，那么就称相应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（相应关系）：A（原象）B（象）”对于映射f：AB来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中相应的象可以是同一个；(3)不规定集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6 常用
12、的函数表达法及各自的优点： 1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：拟定函数的定义域；化简函数的解析式；观测函数的特性；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特性 注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值 7、分段函数 课本P24-25 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况在不同的定义域里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。(3)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个
13、函数，分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数假如y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为F（x）为复合函数。例如：y=2cos(x2+1) 可以当作是函数g(x)=x2+1和f(x)=2cosx组成的复合函数。复合函数单调性判断：同增异减。二函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，假如对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.假如对于区间D上的任意两个
14、自变量的值x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点假如函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的鉴定方法(A) 定义法：（最常用） 任取x1，x2D，且x1x2； 作差f(x1)f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”例如：f=（
