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1、第一章导数及其应用导数的概念1.已知f(x)1 , W lim f(2x)f的值是()xx 0xA.11D.2B. 2C44变式1 :设fr rf34,则 lim -3hf3为()h 02hA.1B.2C.3D.1变式2：设fx在怡可导次V limf xxf x 3x等于x 0xA.2fX。B. fX。C. 3fXD. 4 f x0导数各种题型方法总结请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式 恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部
2、分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充 分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值*围。最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f(x)0得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(0,=0,0)(已知谁的*围就把谁作为主元)；第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数)(请同学们参看2010省统测2)例1:设函数y f (x)在区间D
3、上的导数为f (x)，f (x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D 上, g(x) 0432恒成立，则称函数 y f (x)在区间D上为“凸函数”，已知实数 m是常数，f(x) 王 卫* 整12 6 2(1) 若y f (x)在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值*围；(2) 若对满足 m 2的任何一个实数 m，函数f(x)在区间a,b上都为“凸函数”，求b a的最大值.432xmx3xf (x)得 f (X)12 62f (x)在区间0,3上为“凸函数”，2g(x) x mx 30在区间0,3上恒成立-H-解:由函数32x mx 小 3x32(1)则解法一：从 二次函数的区间最值 入手：
4、等价于gmax(x)0解法二：分离变量法：当 x 0 时，g(x)当 0 x 3时，g(x)x2 3等价于m:x3而 h(x) x - ( 0x2时f(x)在区间2 时 g(x)当m则等价于当m变更主元法再等价于F(m)mx x2f( 2)卩F(2)例2:设函数f (x)(I)求函数f2x2xmx 330恒成立,mx 3 0恒成立-的最大值(0 x 3 )恒成立,x3 )是增函数，贝 yhmax(X)h(3) 2a,b上都为“凸函数”2xmx 30恒成立2恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)2x2x x2302x322-x 2ax 3a x 3(*)2的单调区间和极值；b(0 a1,b R)
5、(n)若对任意的 x a 1, a2,不等式f (x)a恒成立，求a的取值*围.(二次函数区间最值的例子)解：(I) f (x)x2 4ax 3a2 x 3a x a a3aa3a令f (x)0,得f(x)的单调递增区间为(a3a)令f (x)0,得f (x)的单调递减区间为(一 ，8)和(3a, +)当 *=a 时，f (x)极小值=a3 b;4当*=3a时， f(x) 极大值=b.(n)由 | f (x) | w a,得：对任意的 x a 1, a 2, a x2 4ax 3a2 a 恒成立则等价于 g (x)这个二次函数gmax(X) a gmin(X) a22g (x) x4 ax 3
6、a 的对称轴x 2a tO a 1, a 1a a 2a (放缩法)g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。即定义域在对称轴的右边,g (x)maxg (x)mina 22g(x) x24ax 3a在a 1,a 2上是增函数.g(a 2)g(a 1)2a 1.4a 4.于是，对任意xa1,a2，不等式恒成立，等价于1.4又0 a 1, 5点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系 第三种：构造函数求最值 题型特征：f(x) g(x)恒成立 h(x) f (x) g(x) 0恒成立；从而转化为 第一、二种题型32例3；已知函数f(x) x ax图象上一点P
7、(1,b)处的切线斜率为3,(I)求a,b的值；(n)当 x1,4时，求f (x)的值域；(川)当x1,4时，不等式f(x) g(x)恒成立，*数t的取值*亂解：(I)/2f/(1)3f /(x) 3x22ax ，解得a3b 1 ab2()由(I)知， f (x)在1,0上单调递增，在0,2上单调递减，在2,4上单调递减又 f ( 1)4, f (0)0, f (2)4, f(4)16 f (x)的值域是4,16(川)令 h(x) f(x) g(x)x2 (t 1)x 3 x 1,4思路1：要使f(x) g(x)恒成立，只需h(x) 0,即t(x2 2x) 2x 6分离变量思路2： 二次函数区
8、间最值二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的*围解法1：转化为f(x) 0或f(x) 0在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2：利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区 间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”，要弄清楚两句话 的区别：前者是后者的子集13 a 12例 4：已知 a R，函数 f(x) xx (4a l)x.12 2(I)如果函数 g(x) f (x)是偶函数，求f (x)的极大值和极小值;(n)如果函数 f(x)是(，)上的单调函数，求a的取值*围.1 2解：f (x)x (
9、a1)x (4a1).4I) V f (x)是偶函数，a 1.13此时f(x)x1 23x , f (x)-x 3,124令f (x)0 ,解得：x2 3.列表如下:x(8，-2a/3)2晶(2爲,2爲)243(2 73 ,+8)f (x)+00+f(x)递增极大值递减极小值递增可知：f (x)的极大值为f( 2 3) 4 3， f(x)的极小值为f(2 3)4 3.(n)v函数f (x)是(，)上的单调函数，f (x) -x 1 2贝U (a 1)4 - (4a 1) a 2a 0,解得：0 a 2.4综上，a的取值*围是a0 a 2.1 3 1 2例 5、已知函数 f (x)x3(2 a)
10、x2 (1 a)x(a 0). (a 1)x (4a 1) 0，在给定区间R上恒成立判别式法4单调增区间：(1,a 1)(II)当f (x)在0,1上单调递增1、a 0时，f(x)在(单调增区间：(，1),(a1,)则0,1是上述增区间的子集:)单调递增符合题意2、0,1 a 1,综上，a的取值*围是0,三、题型二：根的个数问题题1函数f(*)与g(*)(或与*轴)的交点； 解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图” (即解导数不等式) 还是“先减后增再减”；1。=即方程根的个数问题和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组) 第三步：解
11、不等式(组)即可；1 3例6、已知函数f(x)x33(1) *数k的取值*围；(2) 若函数f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，；主要看极大值和极小值与0的关系;罗x2 , g(x) 123kx，且f (x)在区间(2,)上为增函数.*数k的取值*围.解：(1)由题意 f (x) x2 (k 1)x V f (x)在区间(2,2- f (x) x (k 1)x0在区间(2,即k 1(2)设令 h (x) 当 当由于)上为增函数，(分离变量法)1 k的取值*围为k 12xx恒成立，又x 2, k 1x3 (kh(x) f(x) g(x)320得x k或x 1由(1)知k 1 ,)上恒成立
12、2，故k3 kxx(,k)k(k,1)1(1,)h(x)0一0h(x)/极大值.3. 2.kk1623极小值k 12/0 ,欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程1时，h (x) (x 1)20 , h(x)在R上递增，显然不合题意1时，h(x) , h (x)随x的变化情况如下表：h(x) 0有三个不同的实根，故需2k3k210，即(k 1)(k2 2k 2)0 k2 1，解得 k 1. 3k2 2k 2 0623综上，所求k的取值*围为k 1.3根的个数知道，部分根可求或已知。1(2)有含1 2g(x) bx x d，在(1)的条件下，是否存在实数21的三个不同交点？若存在，求出实数b，使得函数g(x)的图像与函数f (x)的图像恒解:(1)/ f (x)的图像过原点，则 f(0)0又1是f (x)的极值点,f ( 1) 3af (x) 3x2b的取值*围;否则说明理由。c 0 f (x)c 23axx
