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1、金太阳新课标资源网 2013版高考数学一轮复习精品学案第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入【知识特点】平面向量作为工具性知识，和三角函数、解析几何、立体几何等知识有着广泛的联系。其中平面向量的共线与垂直，平面向量的运算，平面向量的数量积及其应用，是重点内容，也是高考考查的重点。对于数系的扩充和复数的引入这部分内容，其独立性较强，一般是单独命题，其中复数的概念和复数的运算是重点知识，也是高考考查的重点。【重点关注】1、平面向量共线与垂直的充要条件、平面向量的线性运算、平面向量的数量积及其应用、复数的运算是高考的热点内容，需重点关注。2、平面向量的基本运算与三角函数结合是高考中的重要题型，此
2、类题可以是选择、填空，也可以为中档的解答题。向量与数列、不等式、圆锥曲线，函数等知识的综合问题。对学生能力的考查有较高的要求。3、本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形与数”的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁。【地位和作用】向量带有基础知识的特点，是一种工具性和方法性知识。向量有一套优秀的运算系统，由于它提供的向量法、坐标法，使其成为研究高中数学的重要方法。同时，向量又有一套优良的运算系统，几何中有关长度、角度的计算，平行、垂直的判定与证明，很多场合下都可以化归为向量的运算来完成，教材中正弦定理、余弦定理的证明、定比分点坐标公式的导出，就是这方面典型的例子。这些体现了数学中化归
3、和数形结合的思想。向量“形”、“数”兼备，是数形结合的桥梁。在运用向量知识时，充分运用几何图形直观的特点，而在解决几何问题时，又注意充分运用向量法与坐标法，处处渗透了数形结合的思想。通过分析进两年高考中本章相关知识点的考查汇总，可以看出本章在高考命题中呈现出以下特点：1、考查题型主要是以选择、填空为主，分值为10分左右，基本属容易题；2、重点考查向量的共线与垂直，向量的夹角、模与数量积及复数的运算，注重在知识交汇处命题；3、预计在本意在今后的高考中，将以向量的运算、向量的夹角、模、数量积、复数的运算为命题热点，将更加注重向量与其他知识的交汇，以考查基础知识、基本技能为主。4.1平面向量【高考新
4、动向】一、平面向量的概念及其线性运算1、考纲点击（1）了解向量的实际背景；（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；（3）理解向量的几何表示；（4）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；（5）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；（6）了解向量线性运算的性质及其几何意义。2、热点提示（1）平面向量的线性运算是考查重点；（2）平面向量基本定理的理解和应用是重点,也是难点;（3）题型以选择题和填空题为主，常与解析几何相联系。二、平面向量的基本定理及坐标表示1、考纲点击（1）了解平面向量的基本定理及其意义；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；（3）会用坐标表示平
5、面向量的加法、减法与数乘运算；（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。2、热点提示（1）平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点；在高考中常以选择题、填空题的形式出现，难度为中低档；（2）向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点交汇，其中以与三角形和解析几何知识结合为常见。三、平面向量的数量积及平面向量应用举例1、考纲点击（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系；（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；（5）会用向量方法解决某些
6、简单的平面几何问题；（6）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。2、热点提示（1）平面向量数量积的运算是高考考查的重点，多以选择、填空题的形式出现，难度适中，但灵活多变；（2）应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直关系是难点；（3）向量的数量积常用来判断三角形的形状，求两直线的夹角或线段的长度等，易与其他知识结合在知识交汇点处命题，是高考的一个热点，应引起重视。【考纲全景透析】一、平面向量的概念及其线性运算1、向量的有关概念及表示方法（1）向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或模）零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作单位向量长度
7、等于1个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量与任一向量平行或共线共线向量平行向量双叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量的相反向量为（2）向量的表示方法字母表示法，如：等；几何表示法：用一条有向线段表示向量。2、向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算（1）交换律：。（2）结合律：减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差数乘求实数与向量的积的运算（1）（2）当0时，与的方向相同；当0时, 与的方向相反；当=0时, =注：式子的几何意义为：平行四边形两条对角线的平方和等于它们四条边的平方和。3、向量与向量共线的充要条件为存
8、在唯一一个实数，使注：用向量法证明三点A、B、C共线时，首先求出，然后证明，即共线即可。方法提示：数学中研究的向量是自由向量：两个向量只要它们的模相等、方向相同，它们就是相等向量，而与它们的起点在哪里没有关系。这就为我们应用向量带来方便，可以任意选取有向线段的起点，可以把向量自由平移。向量的线性运算规律：向量的加减法都可以推广到若干个向量间进行。加法的三角形法则关键是“首尾相接，指向终点”，减法的三角形法则关键是“起点重合，指向被减向量”，用字母表示的向量进行线性运算时可以类比多项式加法和数乘多项式进行。二、平面向量的基本定理及坐标表示1、两个向量的夹角（1）定义已知两个非零向量和，作，则AO
9、B=叫做向量与的夹角。（2）范围向量夹角的范围是001800，与同向时，夹角=00；与反向时，夹角=1800。（3）向量垂直如果向量与的夹角是900，则与垂直，记作。注：在ABC中，设，则向量与的夹角为ABC是否正确？（答：不正确。求两向量的夹角时，两向量起点应相同，向量与的夹角为-ABC）。2、平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量基本定理定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使。其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（2）平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。（3）平面向量的坐标表示在
10、平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一实数x,y,使，把有序数对（x,y）叫做向量的坐标，记作=（x,y）,其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。设，则向量的坐标（x,y）就是终点的坐标，即若=（x,y），则点坐标为（x,y），反之亦成立。（O为坐标原点）方法提示：平面向量基本定理应用时的注意点向量共线的充要条件中要注意，否则可能不存在，也可能有无数个；应用平面向量基本定理时注意待定系数法和方程思想的运用；利用向量共线证明平面几何中点共线或直线平行时注意强调平面中这些元素的位置关系。3、平面向量的坐标运算（1）加法、减法、
11、数乘运算向量+-坐标（x1,y1）(x2,y2)(x1+x2, y1+ y2)(x1-x2, y1-y2)（x1,y1）（2）向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；已知（x1,y1），B(x2,y2)，则=（x2-x1，y2-y1），即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标。（3）平面向量共线的坐标表示设=（x1,y1），=(x2,y2)，其中0，则与共线= x1y2- x2y1=0。注：=（x1,y1），=(x2,y2)，则/的充要条件不能写成，因为x2,y2有可能为0，故应表示成x1y2- x2y1=0。三、平面向量的数量积及其应用举例（一）主要知识：1
12、平面向量数量积的概念； 2平面向量数量积的性质：、；3向量垂直的充要条件：（二）主要方法：1注意向量夹角的概念和两向量夹角的范围； 2垂直的充要条件的应用；3当角为锐角或钝角，求参数的范围时注意转化的等价性；4距离，角和垂直可以转化到向量的数量积问题来解决 （三）平面向量的应用一个是向量在几何中的应用，一个是向量在物理中应用。【热点难点全析】一、平面向量的概念及其线性运算（一）向量的有关概念相关链接1、着重理解向量以下几个方面：（1）向量的模；（2）向量的方向；（3）向量的几何表示；（4）向量的起点和终点。2、判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况：（1）零向量的方向及与其他向量的关系
13、；（2）单位向量的长度及方向。例题解析【例1】下列结论中，不正确的是 （ ）向量，共线与向量/同义；若向量/，则向量与共线；若向量=，则向量=；只要向量，满足|=|，就有=。解答：选。根据平行向量（或共线向量）定义知，B均正确；根据向量相等的概念知C正确，不正确。【例2】给出下列命题：有向线段就是向量，向量就是有向线段；若则BCD为平行四边形；若若。其中正确命题的个数是 （ ）（）0 （B）1 （C）2 （）3思路解析：正确理解向量的有关概念是解决本题的关键。注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反倒即可。解答：选B。错，向量可用有向线段表示，但并不是有向线段。错，因为则可能、B、C、四点在
14、一条直线上。正确。错，若，则对不共线的向量与，也有/，/，但与不平行。（二）向量的线性运算相关链接（1）用已知向量来表示别外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理；（2）在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解。注：若为BC的中点，则。例题解析例1在BC中，。思路解析：解本题要进行向量的加、减法外，还有数乘向量运算，如在进行计算时要充分利用BC，ADNABM等条件。解答： 由ADEABC，得，又AM是ABC的中线，DE/BC，且AM与DE交于点N，得。2在OAB中，延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D，使。DC与OA交于E，设用表示向量及向量。解答：A是BC的中点，即（三）向量的共线问题例设两个非零向量与不共线，若求证：A、B、三点共线；试确定实数k，使和共线思路解析：（1）由已知求判断和的关系判断、B、D的关系；（2）应
