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1、 反比例的意义教学设计【教学内容】：青岛版义务教育教科书（五四学制）五年级下册第五单元信息窗3【教学目标】：1.在具体情境中，理解反比例的意义，能够判断两种相关联的量是否成反比例关系。2.通过对相关联的两种量的变化情况的探索，经历对比归纳、抽象模型的学习过程，积累数学活动经验，初步感受函数思想。3.通过观察、比较、归纳，提高学生综合、概括和推理的能力，在自主探索与合作交流中获得积极的数学学习情感体验。【教学重难点】：重点：反比例的意义难点：正确判断两种量是否成反比例 【前置性研究】：仔细观察七组相关联的量，完成下面的题目。（1）妈妈和儿子的年龄妈妈的年龄（岁）303132儿子的年龄（岁）567
2、89（2）购买同一种笔记本，笔记本的数量和总价数量（本）12345总价（元）4812（3）用20cm的线围出的长方形的长与周长长方形的长（cm）98765长方形周长（cm）202020（4）一辆汽车从甲地到乙地行驶的速度和时间速度（千米/时）15010075时间（小时）23456（5）一本书已经读的页数和剩下的页数已读的页数20406080100剩下的页数300280260（6）生产一批啤酒每天生产的吨数和需要的天数每天生产的吨数100200300400500需要的天数603020（7）正方形的边长和周长正方形边长（dm）1098正方形周长（dm）40363228241.把表格补充完整。2.找
3、一找，七个表格中，两种相关联的量同时发生变化的有哪些？（写序号）3.根据变化规律，把同时发生变化的几组分类，并思考：为什么这样分？我这样分类：我的理由：【教学过程】：一、计算分类，感受丰富的“变化” 师：同学们，日常生活和学习中，存在着许多相关联的量，比如：学习效率和学习时间，学习效率越高，用的时间就越短。你能举出生活中相关联的量吗？ 生举例。师：课前我们整理几组相关联的量，听清要求：（1）小组内订正表格中的数据是否正确，错的改正过来。（2）交流小研究第2、3题。师：第1题都订正好了吗？继续看第2题，找一找，7个表格中相关联的量同时变化的有哪些？生：（1）（2）（4）（5）（6）（7）师：为什
4、么不选（3）？生：因为长方形周长没有变化，只有长在变化，所以它们不是同时变化的。师：也就是说，相关联的量有的会同时变化，有的不会。不同时变化的量今天暂不研究。同时变化的六组，可以分成几类呢？谁来交流一下。生：（1）（2）（7）分为一类，因为它们同时变大或变小，变化方向相同；（4）（5）（6）一类。因为它们是一种量变大，另一种量变小，变化方向相反。师：看来，同时变化的量变化的规律也是不一样的，有的同时变大或变小。有的一种量变大另一种量变小。【设计意图：通过对七组熟悉数据的计算与观察，让学生不仅体会到数量关系的丰富，更对每种量的大小变化有了初步感知，为后面“不变”量的发现做好准备。同时，学生在对各
5、组数据的观察区分中感受到人们认识世界的一般方法，在数据的变大变小中提升了数感。】二、在“正”与“反”的猜想中，聚焦“积不变”师：生活中“万物皆变”，而既有变，也定有不变。在同时变化的量中，往往还蕴含着不变呢！想一想。前面学习的什么知识中涉及这样的内容？生：正比例。师：仔细观察一下，刚才的表格中哪几组是正比例关系？生：（2）（7）师：回忆一下，正比例关系中，什么不变？不管两种量怎么变化，但它们的比值不变，商不变。我们在六组数据中，找到了2组“商不变”的情形，剩下的四组中还有不变吗？或者说除了商一定，还有其他一定吗？跟同桌说说，你发现哪些“一定”，怎么发现的？生交流。（2）中 30-5=25,31
6、-6=25,32-7=25,33-8=25.34-9=25，妈妈的年龄和儿子的年龄的差不变。（4）中1502=300，1003=300，754=300，605=300，速度和时间的积不变。（5）中20+300=320,40+280=320,60+260=320，已读的页数和剩下的页数的和不变（6）中10060=6000，20030=6000，30020=300，每天生产的吨数和需要的天数的积不变。 师：算一算，让我们找到了变化中的不变。商一定就有了正比例关系，有正比例，你觉得还会有什么？生：反比例。师：正比例关系中商一定，大胆猜想一下，反比例呢？生：积一定。师：为什么？猜想要有理有据啊？生：因
7、为积和商相对应，乘和除相对应师：有道理。事实却是如此。有“正”就有“反”，有“除”就有“乘”，有“商”就有“积”，这正是数学美的独特表现。商一定有正比例，积一定就有了反比例。那么反比例关系中，相关联的两种量到底有什么变与不变的规律呢？【设计意图：数学有其独特的美，其中对称是数学美的重要方面。有“正”就有“反”，有“除”就有“乘”，有“商”就有“积”，这类相对的、相反的思考不仅引出了后续的学习，也让学生领略了数学的对称美，渗透了人们看待事物的辩证眼光，以此引出“反比例”，让学生聚焦“积不变”。】三、在“变”与“不变”的概括中，构建概念模型出示表格（4）（6），仔细观察这两个表格，先独立思考，其中
8、变化的是什么，怎么变化，不变的又是什么？然后再小组内交流。学生小组内交流。师：先看表格（4），谁愿意和大家交流一下。生：速度变化，时间也随着变化。生：速度减少，时间增加。谁能具体说说？生：从左往右看，速度在减少，时间在增加。从右往左看，速度增加，时间减少。师：真会观察，既进行了顺向观察，又会逆向观察，这是数学上重要的观察方法。谁还有发现？生：速度时间=路程师：怎么看出来的？生：1502=300，1003=300，754=300，605=300师：有了数据的支撑，我们发现的规律就更有说服力了。回想一下，我们刚才是怎么观察的？小结：横着观察，我们发现，速度和时间是两种相关联的量，速度变化，时间也随
9、着变化。然后又竖着观察，我们发现变化中蕴含着不变，也就是速度时间的积路程一定。（板书）师：谁来交流一下表格（6）？生：从左往右看，每天生产的吨数增加，需要的天数减少。从右往左看，每天生产的吨数减少，需要的天数增加。生：每天生产的吨数需要的天数=总吨数，总吨数不变师：每天生产的吨数随着天数的变化而变化。每天生产的吨数需要的天数的积不变，也就是总吨数一定。师：比较一下，每组中两种量变与不变的情况，有什么共同点？生：一个量变化，另一个量也变化生：一个量增加，另一个量反而减少。生：两个量相对应的数的积一定。像这样的两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。这就是我们今天学习的反比例的意义（板书
10、课题）师：你觉得什么样的两种量成反比例关系？（生自由说，然后齐读定义）（指着板书）在这里，谁和谁成反比例？生：路程一定，速度和时间成反比例 总吨数一定，每天生产的吨数和需要的天数成反比例。出示表（5），已读页数和剩下页数成反比例吗？ 生交流：积不一定，不成反比例。提升：那想一想，能成反比例的两种量最为关键的是什么？生：相关联，积一定。生活中成反比例关系的例子有很多，你能举一个例子吗？生：长宽=面积（一定） 长方形的面积一定，长和宽成反比例总价一定，单价和数量成反比例建模：这样的例子有很多。那可以怎样表示这种关系呢？如果用x和y分别表示两种相关联的量，用k表示他们的积（一定），反比例关系可以怎么
11、表示？ xy=k（一定）【设计意图：通过学生观察表格（4）和（6）中两种量的变与不变的规律，在比较中发现共同点揭示反比例的意义，然后通过表格（5）对比判断，抓住反比例的本质，最后通过学生举例，建构反比例的模型。在这个环节，围绕“变与不变”展开追问，加深学生的理解，在抽象概括中锻炼学生的思维，渗透函数思想。】四、巩固拓展，应用概念 刚才我们在观察、分类、比较、交流中认识了反比例,考考你。1.每页字数和页数成反比例吗？为什么？2.判断下面每题中的两种量是否成比例？成什么比例？（1）煤的总量一定，每天的烧煤量和烧的天数（2）小明上学，已走的路程与剩下的路程。（3）圆的直径和周长。（4）差一定，被减数
12、和减数。学到这里，你觉得两种在什么情况下成比例？ 小结：首先是相关联的两种量，不相关联的量不成比例。相关联的量之间：加不成比例，减不成比例，乘成反比例，除成正比例。【设计意图：通过练习，使学生巩固判断两个量是否成比例的方法，引导学生对学习的知识进行梳理总结，培养学生综合运用知识解决问题的能力。】五、课堂小结 这节课你有什么收获？ 生：我认识了反比例，知道了反比例的意义。 生：我学会了怎样判断两个量是成正比例还是成反比例。 师：同学们都收获了很多知识，我们一起回顾一下这节课怎么学习的？我们在对比分类中感受了两种量的变化规律，通过对比猜想，寻找变化中的“不变”，聚焦“积不变“，引出反比例。然后在对比判断中归纳反比例的意义，构建反比例的模型。师：我们知道正比例关系的图象是一条直线。那反比例的图形是什么样的？大胆想象一下。生：想象。师： 正如同学们所说的，反比例的图象是曲线，这是我们初中将要学习的内容。感兴趣的同学课下可以探究一下【设计意图：通过课堂回顾，渗透学习方法，感受对比分类对比归纳的研究方法。】【板书设计】 反比例的意义相关联的量 变化 变化 积一定 速度 时间 = 路程（一定） 每天生产的吨数 天数 =总吨数（一定） 单价 数量 =总价（一定） 工作效率 工作时间 =工作总量（一定） x y = k（一定）
