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1、一元二次方程全章复习知识讲解 【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法【知识网络】 【要点梳理】一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程2. 一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.注：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方
2、程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：一个未知数；未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0二、一元二次方程的解法1基本思想 一元二次方程一元一次方程2基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个
3、实数根是，那么，.注意它的使用条件为a0， 0.四、列一元二次方程解应用题1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).3.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）ABCD【答案】C；
4、【总结升华】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案2若方程是关于的一元二次方程，m= 【答案】 根据题意得 解得所以当方程是关于的一元二次方程时，举一反三：1、关于x的方程, 当 时为一元一次方程；当 时为一元二次方程.2、已知（m1）x|m|+1+3x20是关于x的一元二次方程，m= .【答案】1、=4；4且-2.2、依题意得|m|+12，即|m|1，解得m1，又m10，m1，故m1.类型二、一元二次方程的解法3解下列一元二次方程 (1)； (2)； (
5、3)【答案与解析】 (1) ， (2)， (3) 举一反三：解方程： (1)3x+15-2x2-10x； (2)x2-3x(2-x)(x-3) (3)(3x-2)2+(2-3x)0； (4)2(t-1)2+t1.【答案】(1) ，(2) ，(3)，(4)，类型三、一元二次方程根的判别式的应用4已知关于x的一元二次方程（al）x22x+l0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（） A、a2B、a2 C、a2且alD、a2【答案】C；举一反三：1、关于x的方程有实数根则a满足（ ） Aa1 Ba1且a5 Ca1且a5 Da52、为何值时，关于x的二次方程（1）满足 时,方程有两个不等的实数根；
6、（2）满足 时,方程有两个相等的实数根； （3）满足 时,方程无实数根.【答案】1、A； 当，即时，有，有实数根；当时，由0得，解得且综上所述，使关于x的方程有实数根的a的取值范围是答案：A 2、（1）；（2）；（3）. 类型四、一元二次方程的根与系数的关系5已知x1、x2是关于x的方程的两个不相等的实数根，（1）求t的取值范围； （2）设，求s关于t的函数关系式【答案】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根所以(-2)2-4(t+2)0，即t-1(2)由一元二次方程根与系数的关系知：，从而，即举一反三：1、已知关于x的一元二次方程的两实数根为，（1）求m的取值范围；（2）设，当y取得最小
7、值时，求相应m的值，并求出最小值2、已知关于x的方程，试探求：是否存在实数m使方程的两个实数根的平方和 等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根、 (1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由【答案】1、（1）将原方程整理为 原方程有两个实数根 ， （2） ，且因为y随m的增大而减小，故当时，取得最小值12、存在设方程两根为x1、x2，根据题意，得，而，于是有，整理得，解这个方程得， ，当时， ，当时，所以符合条件的m的值为-2 3、(1)根据题意，得(2k-3)2-4(k
8、-1)(k+1)，所以由k-10，得k1.当且k1时，方程有两个不相等的实数根； (2) 不存在如果方程的两个实数根互为相反数，则，解得当时，判别式-50，方程没有实数根所以不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数类型五、一元二次方程的应用6如图所示，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长7某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1
9、120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案】1、设小正方形的边长为xcm，由题意得4x2108(1-80%) 解得x12，x2-2 经检验，x12符合题意，x2-2不符合题意舍去 x2 答：截去的小正方形的边长为2cm2、设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)1120 整理，得x2-5x+60 解得，x12，x23 当x2时，2x4； 当x3时，2x6 答：每床每晚提高4元或6元均可举一反三：1、 有一块长方形的土地，如图所示，宽为120m，建筑商把它分成三部分：甲、乙、丙甲和乙为正方
10、形，现计划甲建住宅区；乙建商场；丙开辟公园，公园的面积为3200m2，那么这块地长应为多少?2、甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度.3、 某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m2，因为准备工 作不足，第一天少拆迁了20。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2. 求：(1)该工程队第一天
11、拆迁的面积； (2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数.【答案】1、根据题意可得(x-120)120-(x-120)3200，(x-120)(240-x)3200，解得x1200，x2160经检验可知，x1200，x2160均符合题意所以这块地长为200m或160m 2、设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.根据题意，得解之,得x1=16，x2=2.经检验：x1=16，x2=2都是原方程的根，但x2=2不合题意，舍去.当x=16时，x+4=20.答：甲每小时行驶16千米，乙每小时行驶20千米. 3、（1）1000m2；（2）20%.巩
12、固练习（一）一、选择题1.已知1是关于x的一元二次方程（m1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（ ）A.1 B.1 C.0 D.无法确定2若一元二次方程式ax（x1）（x1）（x2）bx（x2）2的两根为02，则|3a4b|之值为何（）A2B5 C7 D83某品牌服装原价173元，连续两次降价后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）A B C D4将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A.（x-2）2+3 B.（x+2）2-4 C.（x+2）2-5 D.（x+2）2+45若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） Ak0 Bk0 Ck1且k0 Dk1且k06从一块正方形的铁片上剪掉2 cm宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm2，则原来铁片的面积是( )A.64 cm2 B.100 cm2 C.121 cm2 D.144 cm27若t是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式 的关系是() A.=M B. M C. M D. 大小关系不能确定 8如果关于x的方程ax 2+x-1=0有实数根，则a的取值范围是()A B C且
