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1、一元二次方程全章复习知识讲解 【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念;2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程;3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法【知识网络】 【要点梳理】一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念:通过化简后,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程2. 一元二次方程的一般式: 3.一元二次方程的解:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根.注:判断一个方程是否为一元二次方程时,首先观察其是否是整式方程,否则一定不是一元二次方程;其次再将整式方
2、程整理化简使方程的右边为0,看是否具备另两个条件:一个未知数;未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目,要充分考虑定义的三个特点,不要忽视二次项系数不为0二、一元二次方程的解法1基本思想 一元二次方程一元一次方程2基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中,叫做一元二次方程的根的判别式,通常用“”来表示,即(1)当0时,一元二次方程有2个不相等的实数根;(2)当=0时,一元二次方程有2个相等的实数根;(3)当0时,一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个
3、实数根是,那么,.注意它的使用条件为a0, 0.四、列一元二次方程解应用题1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤:审 (审题目,分清已知量、未知量、等量关系等);设 (设未知数,有时会用未知数表示相关的量);列 (根据题目中的等量关系,列出方程);解 (解方程,注意分式方程需检验,将所求量表示清晰); 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义);答 (写出答案,切忌答非所问).3.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )ABCD【答案】C;
4、【总结升华】一元二次方程必须满足四个条件:(1)未知数的最高次数是2;(2)二次项系数不为0;(3)是整式方程;(4)含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案2若方程是关于的一元二次方程,m= 【答案】 根据题意得 解得所以当方程是关于的一元二次方程时,举一反三:1、关于x的方程, 当 时为一元一次方程;当 时为一元二次方程.2、已知(m1)x|m|+1+3x20是关于x的一元二次方程,m= .【答案】1、=4;4且-2.2、依题意得|m|+12,即|m|1,解得m1,又m10,m1,故m1.类型二、一元二次方程的解法3解下列一元二次方程 (1); (2); (
5、3)【答案与解析】 (1) , (2), (3) 举一反三:解方程: (1)3x+15-2x2-10x; (2)x2-3x(2-x)(x-3) (3)(3x-2)2+(2-3x)0; (4)2(t-1)2+t1.【答案】(1) ,(2) ,(3),(4),类型三、一元二次方程根的判别式的应用4已知关于x的一元二次方程(al)x22x+l0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是() A、a2B、a2 C、a2且alD、a2【答案】C;举一反三:1、关于x的方程有实数根则a满足( ) Aa1 Ba1且a5 Ca1且a5 Da52、为何值时,关于x的二次方程(1)满足 时,方程有两个不等的实数根;
6、(2)满足 时,方程有两个相等的实数根; (3)满足 时,方程无实数根.【答案】1、A; 当,即时,有,有实数根;当时,由0得,解得且综上所述,使关于x的方程有实数根的a的取值范围是答案:A 2、(1);(2);(3). 类型四、一元二次方程的根与系数的关系5已知x1、x2是关于x的方程的两个不相等的实数根,(1)求t的取值范围; (2)设,求s关于t的函数关系式【答案】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根所以(-2)2-4(t+2)0,即t-1(2)由一元二次方程根与系数的关系知:,从而,即举一反三:1、已知关于x的一元二次方程的两实数根为,(1)求m的取值范围;(2)设,当y取得最小
7、值时,求相应m的值,并求出最小值2、已知关于x的方程,试探求:是否存在实数m使方程的两个实数根的平方和 等于56,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根、 (1)求k的取值范围;(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由【答案】1、(1)将原方程整理为 原方程有两个实数根 , (2) ,且因为y随m的增大而减小,故当时,取得最小值12、存在设方程两根为x1、x2,根据题意,得,而,于是有,整理得,解这个方程得, ,当时, ,当时,所以符合条件的m的值为-2 3、(1)根据题意,得(2k-3)2-4(k
8、-1)(k+1),所以由k-10,得k1.当且k1时,方程有两个不相等的实数根; (2) 不存在如果方程的两个实数根互为相反数,则,解得当时,判别式-50,方程没有实数根所以不存在实数k,使方程的两个实数根互为相反数类型五、一元二次方程的应用6如图所示,在长为10cm,宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形,使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,求所截去的小正方形的边长7某旅行社有100张床位,每床每晚收费10元,空床可全部租出;若每床每晚提高2元,则减少10张床位租出;若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出以每次提高2元的这种方法变化下去,为了每晚获得1
9、120元的利润,每床每晚应提高多少元?【答案】1、设小正方形的边长为xcm,由题意得4x2108(1-80%) 解得x12,x2-2 经检验,x12符合题意,x2-2不符合题意舍去 x2 答:截去的小正方形的边长为2cm2、设每床每晚提高x个2元,则每床每晚收费为(10+2x)元,每晚出租出去的床位为(100-10x)张,根据题意,得(10+2x)(100-10x)1120 整理,得x2-5x+60 解得,x12,x23 当x2时,2x4; 当x3时,2x6 答:每床每晚提高4元或6元均可举一反三:1、 有一块长方形的土地,如图所示,宽为120m,建筑商把它分成三部分:甲、乙、丙甲和乙为正方
10、形,现计划甲建住宅区;乙建商场;丙开辟公园,公园的面积为3200m2,那么这块地长应为多少?2、甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行,甲先行1小时后,乙才出发,又经过4小时两人在途中的C地相遇,相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟,结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟,已知乙比甲每小时多行驶4千米,求甲、乙两人骑车的速度.3、 某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m2,因为准备工 作不足,第一天少拆迁了20。从第二天开始,该工程队加快了拆迁速度,第三天拆迁了1440m2. 求:(1)该工程队第一天
11、拆迁的面积; (2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同,求这个百分数.【答案】1、根据题意可得(x-120)120-(x-120)3200,(x-120)(240-x)3200,解得x1200,x2160经检验可知,x1200,x2160均符合题意所以这块地长为200m或160m 2、设甲的速度为x千米/时,则乙的速度为(x+4)千米/时.根据题意,得解之,得x1=16,x2=2.经检验:x1=16,x2=2都是原方程的根,但x2=2不合题意,舍去.当x=16时,x+4=20.答:甲每小时行驶16千米,乙每小时行驶20千米. 3、(1)1000m2;(2)20%.巩
12、固练习(一)一、选择题1.已知1是关于x的一元二次方程(m1)x2+x+1=0的一个根,则m的值是( )A.1 B.1 C.0 D.无法确定2若一元二次方程式ax(x1)(x1)(x2)bx(x2)2的两根为02,则|3a4b|之值为何()A2B5 C7 D83某品牌服装原价173元,连续两次降价后售价价为127元,下面所列方程中正确的是( )A B C D4将代数式x2+4x-1化成(x+p)2+q的形式()A.(x-2)2+3 B.(x+2)2-4 C.(x+2)2-5 D.(x+2)2+45若关于x的一元二次方程有实数根,则k的取值范围是( ) Ak0 Bk0 Ck1且k0 Dk1且k06从一块正方形的铁片上剪掉2 cm宽的长方形铁片,剩下的面积是48 cm2,则原来铁片的面积是( )A.64 cm2 B.100 cm2 C.121 cm2 D.144 cm27若t是一元二次方程的根,则判别式和完全平方式 的关系是() A.=M B. M C. M D. 大小关系不能确定 8如果关于x的方程ax 2+x-1=0有实数根,则a的取值范围是()A B C且