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1、一道数学高考题的分析广东考题：一条双曲线的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点（）求直线与交点的轨迹的方程；（）若过点的两条直线和与轨迹都只有一个交点，且 ,求的值说明：（1）本题有考查知识、思想方法与能力的多项功能，是一道难度较大的综合问题，对考生的数学素养要求较高 知识：可以考查双曲线，椭圆，直线与圆锥曲线的位置关系及曲线方程的有关知识思想方法：可以考查化归与转化、函数与方程、数形结合、分类与整合的数学思想方法；还用到了待定系数法，代入法，消元法（代入消元或整体消元），反证法及设而不求等技巧 能力：可以考查推理论证能力，运算求解能力与数学探究能力（2）本例有高达528%的考生0分
2、，平均得147分，难度系数为0105，这表明本题理论上的潜在功能尚未发挥出来（难度系数低于02的考题有“形同虚设”之嫌）因此，本题还有继续揭示解题思路的必要，为了提高题目的新鲜感和一般性，我们以“推广”的形式来展开，行文中顺便也对题目与解法提出一些商讨性的改变 如：把题目“只有一个交点”改为“只有一个公共点”因为直线与圆锥曲线的切点常指两个重合的交点（比如用判别式法时，对应的二次方程是有两个相等的实根、而不是只有一个实根），它与直线交双曲线（或抛物线）于“一个交点”是不同的，此处的“一个交点”有可能给题意带来歧义首先给出推广题目例：已知双曲线的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点（）
3、求直线与交点的轨迹的方程；（）若过点的两条直线、与轨迹都只有一个公共点，且，求的值一、第（）问的讲解 分4步作讲解1弄清条件是什么，一共有几个，其数学含义如何？我们说条件有5个：（1）给定一条双曲线（2）取已知双曲线的左、右顶点，这是文字语言，不能运算、难以推理，其数学含义是，（3）取已知双曲线上不同的两个动点，其中在“双曲线上”是文字语言，不能运算、难以推理，其数学含义是坐标满足，而“不同”也是文字语言，不能运算、难以推理，其数学含义是，即（4）由条件（2）、（3）保证了，是不同的两个点，可以确定直线，这也是文字语言，不能运算、难以推理，它的一个数学含义为（直线方程的两点式）（5）由条件（2
4、）、（3）保证了，是不同的两个点，可以确定直线，而直线的一个数学含义为（直线方程的两点式）能够这样理解题意至少可以得2分，并为思路探求奠定良好的基础可以说528%的0分考生尚未真正弄清题意2弄清结论是什么，一共有几个，其数学含义如何？表面上，结论是一个：求直线与交点的轨迹的方程，“轨迹”是文字语言，包含完备性与纯粹性两个方面，不妨理解为两个结论（1）求两直线交点所满足的方程（得出椭圆），这是本题的重点（2）验证方程解为两直线的交点（去掉椭圆的4个顶点，得出残缺椭圆），这是本题的难点3沟通条件与结论的联系（轨迹转移法）（1）由结论的需要，想到去找直线与交点（2）为了找直线与交点，想到建立直线与的
5、方程（3）为了建立直线（或）的方程，想到已知点，（或，），选择直线方程两点式（还要想到验证，（或，）不重合）（4）有了直线方程，便可用消元法解出交点至此，思路基本打通，但还不能算完成，因为结论是求交点的轨迹（5）由于交点与，有关，由此想到使用坐标满足双曲线方程的条件，即把的等量关系转移到，的等量关系，得出交点所在的曲线方程（完成必要性，得出椭圆）（6）验证充分性（去掉椭圆的4个顶点，得出残缺椭圆基本结构：理解题目的条件和结论，我们看到，一个已知轨迹方程（双曲线）经过某种运动变化之后（两条动直线相交）形成一个新轨迹方程，其数学结构是轨迹转移：通过解方程沟通新旧轨迹（点）的联系，再通过旧轨迹的转移
6、得出新轨迹（建立方程组、消元、得出方程（方程）4基本解法解法1 （轨迹转移法）依题意有，又由，是双曲线上不同的两点知，有 ， 即，是不同的四个点（可保证直线、均存在，但还没有验证它们的交点不会是，），有直线的方程为， 直线的方程为 联立、，解得交点坐标为， 但由知， 代入得 因为点在已知双曲线上，故把变为，后，应满足双曲线方程，有 ，计及，整理得所求轨迹的方程为（椭圆去掉4个顶点）且 若对交点“设而不求”，则有下面的变通解法解法2 （整体消参法）依题意有，又由，是双曲线上不同的两点知，有 ， 即，是不同的四个点（可保证直线、均存在，但还没有验证它们的交点不会是，）设直线与的交点为，分别由“三点
7、共线”，“三点共线”有， 下面证明且 若，由、有 ， 矛盾，故有 若时，由、有 ， 矛盾，故有 这时，由得与交点所满足的方程 ， 因为点在已知双曲线上，有，即， 亦即直线、斜率的乘积为定值把代入，计及，得所求轨迹的方程为（椭圆去掉4个顶点）（且）二、第（）问的讲解 分4步作讲解1弄清条件是什么，一共有几个，其数学含义如何？我们说条件有4个：（1）第（）问的轨迹成为了第（）问的首要条件，其数学含义是残缺椭圆：且题目的这种串联式结构使得未完成第（）问的考生无法开始第（）问；而第（）问得出完整椭圆（未去掉4个顶点）的考生则不能完整求解第（）问（2）过点作了两条直线、与轨迹都只有一个公共点其中“一个公
8、共点”的数学含义有两种解释：、与轨迹相切，其数学含义可以是相应二次方程的判别式等于0，也可以对函数求导来确定 、经过，并且均与交于一点本来还应考虑、经过，的，但由于，三点共线，这条直线与轨迹无公共点，故予排除（3），其数学含义可以是（4）由于轨迹是椭圆去掉4个顶点，而、又有2种类型，故有三种情况种可能：、均为切线；，或由对称性得、均为割线；，或由对称性的、中一个为切线，另一个为割线，有4种可能：，2弄清结论是什么，一共有几个，其数学含义如何？结论是一个：求的值由于有多种可能，也存在多值的可能3沟通条件与结论的联系（方程观点）（1）为了求的值，我们来确定关于的方程（2）为了建立方程，我们以的等价
9、条件作为等量关系（3）由等量关系的需要，我们去找的表达式，将它们表示为的函数（4）当、均为切线时，可以由相应二次方程的判别式等于0来确定斜率 （5）当、均为割线时，可以由两点坐标来确定斜率至此，思路基本打通 4基本解法 设过点的直线为：，与轨迹只有一个公共点存在两种情况，其一，与轨迹相切（记为切线）；其二，经过或（与残缺椭圆相交，记为割线）下面分三种情况讨论（1）当、均为切线且时，由 （要消去）消去得关于的二次方程（消去） 有两个相等的实根，其判别式等于0（消去） 得 ，（可两根之积等于，也可以得出结果，但不利于第（3）种情况）解得 ， 这时 ：，把，代入知均矛盾，故、与相切于，之外的点（几何
10、意义很明显，但应有所交待）又由，有，解得（消去） （2）当、均为割线且时，把，代入：，得 ，得， 把（即）代入二次方程的判别式，有 ，故、与均有（，之外的）一个交点（几何意义很明显，但应有所交待）又由，有，得 （3）当、中一条为切线、另一条为割线，且时，考虑四种可能，即 ，左边大于0、右边小于0，矛盾；，左边大于0、右边小于0，矛盾得 又 ，即所以，由、得符合条件的为三个不同的值：（如图21所示）， 图21三、得分技术指导1 防止“会而不对、对而不全”（1）左、右顶点的坐标，不要弄反了，弄反了的考生主要不是知识性错误，而是心理性错误（存在扣分危险）（2）要去掉椭圆的4个顶点，得出残缺椭圆这既有知识性错误又有逻辑性错误 （“”不全或没有写出扣1分）（3）两条直线、与轨迹都只有一个公共点存在三种情况，不是两种情况（标准答案写错了，试评才改）2 分段得分（1）辅助得分把左、右顶点翻译为：，把“直线、”翻译为， （1分） （2分）把“交点”翻译为“解方程”：，即，（4分）对于绝大多数考生来说，直线方程两点式、解方程求交点应是过关的，得0分只能是考试技术不过关算到4分段是“缺步解答”（已经第（）问得分过半），更重要的是，还有机会继续由“点在双曲线上”（即），（5分）消去，得且 （7分） 这就第（）问全题解决了
