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1、2021-2022学年高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程学案 新人教A版必修22021-2022学年高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程学案 新人教A版必修2年级：姓名：4.1.2圆的一般方程学 习 目 标核 心 素 养1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径(重点)2会在不同条件下求圆的一般式方程(重点)1. 通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学核心素养2. 通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学核心素养圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念：当D2E24F0时，二元二次方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程(2)圆的
2、一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2y2DxEyF0 (D2E24F0)表示的圆的圆心为，半径长为思考：所有形如x2y2DxEyF0的二元二次方程都表示圆吗？提示不是，只有当D2E24F0时才表示圆当D2E24F0时表示点.当D2E24F0时不表示任何图形1圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A.(2，3)B(2，3)C.(2，3) D(2，3)D2，3，圆心坐标是(2，3).2方程x2y2xyk0表示一个圆，则实数k的取值范围为()A.k BkC.k Dk0k0，解得k1.故实数k的取值范围是(，1).故选B.(2)由题可得a2a2，解得a1或a2.当a1时，方程为x2y24x8y50
3、，表示圆，故圆心为(2，4)，半径为5.当a2时，方程不表示圆形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义令D2E24F0，成立则表示圆，否则不表示圆(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2DxEyF0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解1下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径(1)2x2y27y50；(2)x2xyy26x7y0；(3)x2y22x4y100；(4)2x22y25x0.解(1)方程2x2y27y50中x2与y2的系数不相同，它不能表示圆(2)方程x2
4、xyy26x7y0中含有xy这样的项它不能表示圆(3)方程x2y22x4y100化为(x1)2(y2)25，它不能表示圆(4)方程2x22y25x0化为y2，它表示以为圆心，为半径的圆求圆的一般方程【例2】求经过两点A(4，2)，B(1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程解设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，令y0，得x2DxF0，所以圆在x轴上的截距之和为x1x2D；令x0，得y2EyF0，所以圆在y轴上的截距之和为y1y2E；由题设，x1x2y1y2(DE)2，所以DE2.又A(4，2)，B(1，3)两点在圆上，所以1644D2EF0，19D3EF0，由可得D2，E0，F1
5、2，故所求圆的方程为x2y22x120.待定系数法求圆的方程的解题策略(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.2求经过点A(2，4)且与直线x3y260相切于点B(8，6)的圆的方程解设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心坐标为.圆与x3y260相切于点B，1，即E3D360.(2，4)，(8，6)在圆上，2D4EF200，8D6EF1000.联立，解得D11，E3，F30，故所求圆的方程为x2y2
6、11x3y300.与圆有关的轨迹方程问题探究问题1已知点A(1，0), B(1，0)，则线段AB的中点的轨迹是什么？其方程又是什么？提示线段AB的中点轨迹即为线段AB的垂直平分线，其方程为x0.2已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，你能求出点M的轨迹方程吗？提示设M(x，y)，由题意有2，整理得点M的轨迹方程为x2y216.【例3】点A(2，0)是圆x2y24上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ的中点N的轨迹方程思路探究：(1)(2)解(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公
7、式得点P坐标为P(2x2，2y).点P在圆x2y24上，(2x2)2(2y)24，故线段AP的中点M的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ONPQ，|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，x2y2(x1)2(y1)24，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2y2xy10.求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)；(2)列出点M 满足条件的集合；(3)用坐标表示上述条件，列出方程；(4)将上述方程化简；(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点3已知A
8、BC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程解以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0).|AD|3，(x02)2y9.将代入，整理得(x6)2y236.点C不能在x轴上，y0.综上，点C的轨迹是以(6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(12，0)和(0，0)两点轨迹方程为(x6)2y236(y0).1圆的一般方程x2y2DxEyF0，来源于圆的标准方程(xa)2(yb)2r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件标准方程一般方程(xa)2(yb)2r2x2y2DxEyF0(D2E2
9、4F0)圆心在x轴上(xa)2y2r2x2y2DxF0圆心在y轴上x2(yb)2y2x2y2EyF0过(0，0)(xa)2(yb)2a2b2x2y2DxEy02.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程，体现数学运算的核心素养3涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤1方程2x22y24x8y100表示的图形是()A一个点B一个圆C一条直线 D不存在A方程2x22y24x8y100，可化为x2y22x4y50，即(x1)2(y2)20，方程2x22y24x8y100表示点(1，2).2若a2，
10、0，1，3，则方程x2y23axaya2a10表示的圆的个数为()A0 B1C2 D3C由(3a)2a240，得a1，满足条件的a只有2与0，所以方程x2y23axaya2a10表示的圆的个数为2.3圆心是(3，4)，经过点M(5，1)的圆的一般方程为_x2y26x8y480只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程即可4若方程x2y2DxEyF0表示以(2，4)为圆心，4为半径的圆，则F_4由题意，知D4，E8，r4，F4.5已知圆心为C的圆经过点A(1，0)，B(2，1)，且圆心C在y轴上，求此圆的一般方程解设圆的一般方程为x2y2DxEyF0.圆心C在y轴上，D0.又A(1，0)，B(2，1)在圆上，解得所以所求的圆的一般方程为x2y24y10.
