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1、第一部分 专题五 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线(限时60分钟，满分100分)一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分)1(精选考题陕西高考)已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为()A. B1 C2 D4解析：由已知，可知抛物线的准线x与圆(x3)2y216相切圆心为(3,0)，半径为4，圆心到直线的距离d34，解得p2.答案：C2(2009全国卷)已知椭圆C：y21的右焦点为F，右准线为l，点Al，线段AF交C于点B.若3，则| ()A. B2 C. D3解析：BM垂直于右准线于M，右准线与x轴交于N，易求得椭圆的离心率为e，由椭圆的第二定义得BM
2、，在RtAMB中，它为等腰直角三角形，则ANF也为等腰直角三角形，FN1，则|.答案：A3已知抛物线y24x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|MN|，则NMF()A. B. C. D.解析：设准线为l，作NDl，垂足为D，在RtNMD中，sinNMD，NMD，NMF.答案：A4过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：由题意知点P的坐标为(c，)或(c，)，F1PF260，即2acb2(a2c2)e22e0，e或e(舍去)答案：B5双曲线1的左、右焦点分别为F1、F2，点P
3、在双曲线的右支上，若线段PF1的中点在y轴上，那么点P到双曲线左准线的距离是()A. B.C. D.解析：双曲线1的左准线方程为x，离心率为e，左焦点F1(3,0)设P(x0，y0)，则PF1的中点(，)在y轴上x03，而P(3，y0)在双曲线上1，取y0，由双曲线定义知e，d.答案：A6(精选考题皖南八校模拟)已知点P是抛物线y22x上的动点，点P到准线的距离为d，点A(，4)，则|PA|d的最小值是()A. B4C. D5解析：设抛物线y22x的焦点为F，则F(，0)又点A(，4)在抛物线的外侧，且点P到准线的距离为d，所以d|PF|，则|PA|d|PA|PF|AF|5.答案：D二、填空题
4、(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)7经过点M(10，)，渐近线方程为yx的双曲线的方程为_解析：设双曲线方程为x29y2，代入点(10，)36双曲线方程为1.答案：18抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，若过点M(0,1)任作一条直线交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1x22，则抛物线C的方程为_解析：设抛物线C的方程为yax2，过点M(0,1)的直线方程为y1kx，消y，得ax2kx10.x1x2，x1x2.2.a.抛物线C的方程为x22y.答案：x22y9已知以坐标原点为顶点的抛物线C，焦点在x轴上，直线xy0与抛物线C交于A、B两点若P(2,2)为AB的
5、中点，则抛物线C的方程为_解析：由题意知，抛物线的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，所以可设抛物线的方程为y2ax(a0)将直线方程和抛物线方程联立，得：x2ax0，解得x10，x2a，故AB中点的横坐标为x0(x1x2)a，由题意得a2，解得a4.所以该抛物线的方程为y24x.答案：y24x三、解答题(本大题共3个小题，共46分)10(本小题满分15分)(精选考题济南模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，且椭圆经过点N(2，3)(1)求椭圆C的方程；(2)求椭圆以M(1,2)为中点的弦所在直线的方程解：(1)由椭圆经过点N(2，3)，得1，又e，解得：a216，b212.所以椭圆C的方程为1
6、.(2)显然M在椭圆内，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是以M为中点的弦的两个端点，则1，1.相减得：0.整理得：kAB，则所求直线的方程为：y2(x1)，即：3x8y190.11(本小题满分15分)(2009全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为.(1)求a，b的值；(2)C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由解：(1)设F(c,0)，当l的斜率为1时，其方程为xyc0，O到l的距离为，故，c1.由e，得a，b.(2)C上存在点P，
7、使得当l绕F转到某一位置时，有成立由(1)知C的方程为2x23y26.设A(x1，y1)，B(x2，y2)当l不垂直于x轴时，设l的方程为yk(x1)C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为(x1x2，y1y2)，且2(x1x2)23(y1y2)26，整理得2x3y2x3y4x1x26y1y26.又A、B在C上，即2x3y6,2x3y6.故2x1x23y1y230. (8分)将yk(x1)代入2x23y26，并化简得(23k2)x26k2x3k260，于是x1x2，x1x2，y1 y2k2(x11)(x21).代入解得，k22.此时x1x2.于是y1y2k(x1x22)，即P(，)因此，当k时
8、，P(，)，l的方程为xy0；当k时 ，P(，)，l的方程为xy0.当l垂直于x轴时，由(2,0)知，C上不存在点P使成立综上，C上存在点P(，)使成立，此时l的方程为xy0.12(本小题满分16分)如图，直线l：y(x2)和双曲线C：1(a0，b0)交于A、B两点，且|AB|，又l关于直线l1：yx对称的直线l2与x轴平行(1)求双曲线C的离心率；(2)求双曲线C的方程解：(1)如图，设双曲线C：1的过一、三象限的渐近线l1：0的倾斜角为.l和l2关于l1对称，设它们交点为P.而l2与x轴平行，记l2与y轴交点为Q点依题意有QPOPOMOPM.又l：y(x2)的倾斜角为60，则260，tan
9、30.于是e211，e.(2)由.于是设双曲线方程为1.即x23y23k2.将y(x2)代入x23y23k2中得x233(x2)23k2.化简得到8x236x363k20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)则|AB|x1x2|22.求得k21.于是所求双曲线方程为y21.1(精选考题合肥模拟)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x2)2y21都相切，则双曲线C的离心率是()A.或 B2或C.或2 D.或解析：由题可知，当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线的方程为yx，由已知可知1，易得双曲线的离心率e，当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线的方程为yx，由已知可得1，易得双曲线的离心
10、率e2.答案：C2已知抛物线C：y24x，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，则在抛物线C上且满足OFP为等腰直角三角形的点P的个数为()A2 B4C2或4 DP点不存在解析：如图作PDl(准线)于D，以F为直角，则PFOFPD无解；若以P为直角，POF45，直线PO的方程yx.联立得P(4,4)，不满足OPPF.同理直线yx与y24x交于(4，4)也不满足OPPF.答案：D3直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是()Ay212x By28xCy26x Dy24x解析：如图，分别过点A、B作抛物线准线的
11、垂线，垂足分别为M、N，由抛物线的定义知，|AM|BN|AF|BF|AB|8，又四边形AMNB为直角梯形，故AB中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度4，而抛物线的准线方程为x，所以42p4，故抛物线的方程为y28x.答案：B4已知抛物线y24x的准线与双曲线y21(a0)交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是()A. B.C2 D3解析：由题意易知，抛物线的准线方程为x1，焦点为F(1,0)，直线x1与双曲线的交点坐标为(1，)，若FAB为直角三角形，则只能AFB为直角，FAB为等腰直角三角形，所以2a，从而可得c，所以双曲线的离心率e.答案：B5(精选
12、考题温州十校模拟)如图，已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在坐标原点，左焦点为F(，0)，且右顶点为D(2,0)设点A的坐标是(1，)(1)求该椭圆的标准方程；(2)过坐标原点O的直线交椭圆于点B、C，求ABC的面积的最大值解：(1)由题意知a2，c，故b1，又椭圆的焦点在x轴上，椭圆的标准方程为y21.(2)当BC垂直于x轴时，|BC|2，SABC1，当BC不垂直于x轴时，设直线BC的方程为ykx，代入y21，得x2，|BC| |x2x1|4 ，又点A到直线BC的距离d，SABC|BC| d，当k0时，k1，当k0时，1，故易知11，得(SABC)max，此时k.6(精选考题茂名模拟)已知圆Q过定点A(0，p)(p0)，圆心Q在抛物线C：x22py上运动，MN为圆Q在x轴上所截得
