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1、第一部分 专题五 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线(限时60分钟,满分100分)一、选择题(本大题共6个小题,每小题6分,共36分)1(精选考题陕西高考)已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切,则p的值为()A. B1 C2 D4解析:由已知,可知抛物线的准线x与圆(x3)2y216相切圆心为(3,0),半径为4,圆心到直线的距离d34,解得p2.答案:C2(2009全国卷)已知椭圆C:y21的右焦点为F,右准线为l,点Al,线段AF交C于点B.若3,则| ()A. B2 C. D3解析:BM垂直于右准线于M,右准线与x轴交于N,易求得椭圆的离心率为e,由椭圆的第二定义得BM
2、,在RtAMB中,它为等腰直角三角形,则ANF也为等腰直角三角形,FN1,则|.答案:A3已知抛物线y24x的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且|NF|MN|,则NMF()A. B. C. D.解析:设准线为l,作NDl,垂足为D,在RtNMD中,sinNMD,NMD,NMF.答案:A4过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若F1PF260,则椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析:由题意知点P的坐标为(c,)或(c,),F1PF260,即2acb2(a2c2)e22e0,e或e(舍去)答案:B5双曲线1的左、右焦点分别为F1、F2,点P
3、在双曲线的右支上,若线段PF1的中点在y轴上,那么点P到双曲线左准线的距离是()A. B.C. D.解析:双曲线1的左准线方程为x,离心率为e,左焦点F1(3,0)设P(x0,y0),则PF1的中点(,)在y轴上x03,而P(3,y0)在双曲线上1,取y0,由双曲线定义知e,d.答案:A6(精选考题皖南八校模拟)已知点P是抛物线y22x上的动点,点P到准线的距离为d,点A(,4),则|PA|d的最小值是()A. B4C. D5解析:设抛物线y22x的焦点为F,则F(,0)又点A(,4)在抛物线的外侧,且点P到准线的距离为d,所以d|PF|,则|PA|d|PA|PF|AF|5.答案:D二、填空题
4、(本大题共3个小题,每小题6分,共18分)7经过点M(10,),渐近线方程为yx的双曲线的方程为_解析:设双曲线方程为x29y2,代入点(10,)36双曲线方程为1.答案:18抛物线C的顶点在坐标原点,对称轴为y轴,若过点M(0,1)任作一条直线交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且x1x22,则抛物线C的方程为_解析:设抛物线C的方程为yax2,过点M(0,1)的直线方程为y1kx,消y,得ax2kx10.x1x2,x1x2.2.a.抛物线C的方程为x22y.答案:x22y9已知以坐标原点为顶点的抛物线C,焦点在x轴上,直线xy0与抛物线C交于A、B两点若P(2,2)为AB的
5、中点,则抛物线C的方程为_解析:由题意知,抛物线的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,所以可设抛物线的方程为y2ax(a0)将直线方程和抛物线方程联立,得:x2ax0,解得x10,x2a,故AB中点的横坐标为x0(x1x2)a,由题意得a2,解得a4.所以该抛物线的方程为y24x.答案:y24x三、解答题(本大题共3个小题,共46分)10(本小题满分15分)(精选考题济南模拟)已知椭圆C:1(ab0)的离心率e,且椭圆经过点N(2,3)(1)求椭圆C的方程;(2)求椭圆以M(1,2)为中点的弦所在直线的方程解:(1)由椭圆经过点N(2,3),得1,又e,解得:a216,b212.所以椭圆C的方程为1
6、.(2)显然M在椭圆内,设A(x1,y1),B(x2,y2)是以M为中点的弦的两个端点,则1,1.相减得:0.整理得:kAB,则所求直线的方程为:y2(x1),即:3x8y190.11(本小题满分15分)(2009全国卷)已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为.(1)求a,b的值;(2)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由解:(1)设F(c,0),当l的斜率为1时,其方程为xyc0,O到l的距离为,故,c1.由e,得a,b.(2)C上存在点P,
7、使得当l绕F转到某一位置时,有成立由(1)知C的方程为2x23y26.设A(x1,y1),B(x2,y2)当l不垂直于x轴时,设l的方程为yk(x1)C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为(x1x2,y1y2),且2(x1x2)23(y1y2)26,整理得2x3y2x3y4x1x26y1y26.又A、B在C上,即2x3y6,2x3y6.故2x1x23y1y230. (8分)将yk(x1)代入2x23y26,并化简得(23k2)x26k2x3k260,于是x1x2,x1x2,y1 y2k2(x11)(x21).代入解得,k22.此时x1x2.于是y1y2k(x1x22),即P(,)因此,当k时
8、,P(,),l的方程为xy0;当k时 ,P(,),l的方程为xy0.当l垂直于x轴时,由(2,0)知,C上不存在点P使成立综上,C上存在点P(,)使成立,此时l的方程为xy0.12(本小题满分16分)如图,直线l:y(x2)和双曲线C:1(a0,b0)交于A、B两点,且|AB|,又l关于直线l1:yx对称的直线l2与x轴平行(1)求双曲线C的离心率;(2)求双曲线C的方程解:(1)如图,设双曲线C:1的过一、三象限的渐近线l1:0的倾斜角为.l和l2关于l1对称,设它们交点为P.而l2与x轴平行,记l2与y轴交点为Q点依题意有QPOPOMOPM.又l:y(x2)的倾斜角为60,则260,tan
9、30.于是e211,e.(2)由.于是设双曲线方程为1.即x23y23k2.将y(x2)代入x23y23k2中得x233(x2)23k2.化简得到8x236x363k20.设A(x1,y1),B(x2,y2)则|AB|x1x2|22.求得k21.于是所求双曲线方程为y21.1(精选考题合肥模拟)中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x2)2y21都相切,则双曲线C的离心率是()A.或 B2或C.或2 D.或解析:由题可知,当双曲线的焦点在x轴上时,渐近线的方程为yx,由已知可知1,易得双曲线的离心率e,当双曲线的焦点在y轴上时,渐近线的方程为yx,由已知可得1,易得双曲线的离心
10、率e2.答案:C2已知抛物线C:y24x,F为抛物线C的焦点,O为坐标原点,则在抛物线C上且满足OFP为等腰直角三角形的点P的个数为()A2 B4C2或4 DP点不存在解析:如图作PDl(准线)于D,以F为直角,则PFOFPD无解;若以P为直角,POF45,直线PO的方程yx.联立得P(4,4),不满足OPPF.同理直线yx与y24x交于(4,4)也不满足OPPF.答案:D3直线l过抛物线y22px(p0)的焦点,且与抛物线交于A、B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是()Ay212x By28xCy26x Dy24x解析:如图,分别过点A、B作抛物线准线的
11、垂线,垂足分别为M、N,由抛物线的定义知,|AM|BN|AF|BF|AB|8,又四边形AMNB为直角梯形,故AB中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度4,而抛物线的准线方程为x,所以42p4,故抛物线的方程为y28x.答案:B4已知抛物线y24x的准线与双曲线y21(a0)交于A、B两点,点F为抛物线的焦点,若FAB为直角三角形,则双曲线的离心率是()A. B.C2 D3解析:由题意易知,抛物线的准线方程为x1,焦点为F(1,0),直线x1与双曲线的交点坐标为(1,),若FAB为直角三角形,则只能AFB为直角,FAB为等腰直角三角形,所以2a,从而可得c,所以双曲线的离心率e.答案:B5(精选
12、考题温州十校模拟)如图,已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中心在坐标原点,左焦点为F(,0),且右顶点为D(2,0)设点A的坐标是(1,)(1)求该椭圆的标准方程;(2)过坐标原点O的直线交椭圆于点B、C,求ABC的面积的最大值解:(1)由题意知a2,c,故b1,又椭圆的焦点在x轴上,椭圆的标准方程为y21.(2)当BC垂直于x轴时,|BC|2,SABC1,当BC不垂直于x轴时,设直线BC的方程为ykx,代入y21,得x2,|BC| |x2x1|4 ,又点A到直线BC的距离d,SABC|BC| d,当k0时,k1,当k0时,1,故易知11,得(SABC)max,此时k.6(精选考题茂名模拟)已知圆Q过定点A(0,p)(p0),圆心Q在抛物线C:x22py上运动,MN为圆Q在x轴上所截得