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1、椭圆中的弦长问题进阶练习一、选择题.已知直线,当变化时,此直线被椭圆 截得的最大弦长是( ).若直线过抛物线的焦点,与抛物线交于、两点,且线段中点的横坐标为,则弦的长为 ( ).设,是椭圆的两个焦点,是椭圆上的点,且:,则的面积为().二、解答题. 已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上上一点到两焦点 、 的距离之和为,且该椭圆的离心率为 ()求椭圆的标准方程; ()若直线: 交椭圆于不同两点、,且满足 (为原点), 求直线的方程.设椭圆的中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,一个顶点为(,),右焦点到点的距离为 ()求椭圆的方程; ()设经过点(,)的直线与椭圆相交于不同两点,满足,试求直线的方程参考答
2、案.解:() , () .解:()依题意,设椭圆方程为, 则其右焦点坐标为, 由,得, 即,故 又, 所求椭圆方程为 ()由题意可设直线的方程为(), 由,知点在线段的垂直平分线上, 由得() 即() ()() 即时方程有两个不相等的实数根 设(,),(,),线段的中点(,) 则,是方程的两个不等的实根,故有 从而有, 于是,可得线段的中点的坐标为 又由于,因此直线的斜率为 由,得 即,解得, 所求直线的方程为:. 本题主要考查直线与椭圆的位置关系. 解:直线恒过定点(,),且是椭圆的短轴上顶点, 因而此直线被椭圆截得的弦长,即为点与椭圆上任意一点的距离, 设椭圆上任意一点(,)()()当时,
3、故选. . 解:因为抛物线为, 所以设、两点横坐标分别为, 因为线段中点的横坐标为, 则,即, 故 . 解:, 可设, 由题意可知, , , , 是直角三角形, 其面积 故选 . 本题主要考查椭圆的应用,熟悉直线与椭圆的关系是解答本题的关键,是高考中常见的题型,属于中档题. ()由题意得,直接运用椭圆的标准方程的应用即可求解; ()由题意得,直接运用直线与椭圆的关系即可求出答案. . ()设出椭圆的标准方程,由右焦点到点的距离为列式求出的值,结合和求椭圆的标准方程; ()设出直线的方程,和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出两交点、的坐标和,从而求出线段的中点的坐标,由,知点在线段的垂直平分线上,由两点式写出的斜率,利用和垂直,斜率之积等于求直线的斜率,则方程可求 本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线与圆锥曲线的关系,运用了设而不求的解题思想,训练了两直线垂直的条件,是难题