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1、北京中考数学知识点过关培优易错试卷训练平行四边形一、平行四边形1（问题情景）利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一例如：张老师给小聪提出这样一个问题：如图1，在ABC中，AB=3，AD=6，问ABC的高AD与CE的比是多少？小聪的计算思路是：根据题意得：SABC=BCAD=ABCE从而得2AD=CE， 请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：（1）（类比探究）如图2，在ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AF=CE，并相交于点O，连接BE、BF，求证：BO平分角AOC（2）（探究延伸）如图3，已知直线mn，点A、C是直线m上两点，点
2、B、D是直线n上两点，点P是线段CD中点，且APB=90，两平行线m、n间的距离为4求证：PAPB=2AB（3）（迁移应用）如图4，E为AB边上一点，EDAD，CECB，垂足分别为D，C，DAB=B，AB=，BC=2，AC=，又已知M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN求DEM与CEN的周长之和【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5+【解析】分析：(1)、根据平行四边形的性质得出ABF和BCE的面积相等，过点B作OGAF于G，OHCE于H，从而得出AF=CE，然后证明BOG和BOH全等，从而得出BOG=BOH，即角平分线；(2)、过点P作PGn于G，交m于F，根据平行线的性质得出C
3、PF和DPG全等，延长BP交AC于E，证明CPE和DPB全等，根据等积法得出AB=APPB，从而得出答案；(3)、，延长AD，BC交于点G，过点A作AFBC于F，设CF=x，根据RtABF和RtACF的勾股定理得出x的值，根据等积法得出AE=2DM=2EM，BE=2CN=2EN， DM+CN=AB，从而得出两个三角形的周长之和同理：EM+EN=AB详解：证明：（1）如图2， 四边形ABCD是平行四边形，SABF=SABCD，SBCE=SABCD， SABF=SBCE，过点B作OGAF于G，OHCE于H， SABF=AFBG，SBCE=CEBH，AFBG=CEBH，即：AFBG=CEBH， AF
4、=CE， BG=BH，在RtBOG和RtBOH中， RtBOGRtBOH， BOG=BOH，OB平分AOC，（2）如图3，过点P作PGn于G，交m于F， mn， PFAC，CFP=BGP=90， 点P是CD中点，在CPF和DPG中， CPFDPG， PF=PG=FG=2，延长BP交AC于E， mn， ECP=BDP， CP=DP，在CPE和DPB中， CPEDPB， PE=PB，APB=90， AE=AB， SAPE=SAPB， SAPE=AEPF=AE=AB，SAPB=APPB，AB=APPB， 即：PAPB=2AB；（3）如图4，延长AD，BC交于点G， BAD=B， AG=BG，过点A作
5、AFBC于F，设CF=x（x0）， BF=BC+CF=x+2， 在RtABF中，AB=，根据勾股定理得，AF2=AB2BF2=34（x+2）2， 在RtACF中，AC=，根据勾股定理得，AF2=AC2CF2=26x2，34（x+2）2=26x2， x=1（舍）或x=1， AF=5，连接EG， SABG=BGAF=SAEG+SBEG=AGDE+BGCE=BG（DE+CE），DE+CE=AF=5， 在RtADE中，点M是AE的中点， AE=2DM=2EM，同理：BE=2CN=2EN， AB=AE+BE， 2DM+2CN=AB， DM+CN=AB，同理：EM+EN=AB DEM与CEN的周长之和=D
6、E+DM+EM+CE+CN+EN=（DE+CE）+（DM+CN）+（EM+EN）=（DE+CN）+AB=5+点睛：本题主要考查的就是三角形全等的判定与性质以及三角形的等积法，综合性非常强，难度较大在解决这个问题的关键就是作出辅助线，然后根据勾股定理和三角形全等得出各个线段之间的关系2如图1，正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OEMN于点E（1）如图1，线段AB与OE之间的数量关系为 （请直接填结论）（2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转（090），过点 B作BFMN于点F如图2，当点O、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段
7、AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系？请说明理由如图3，当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、BF与OE之间的数量关系为 （请直接填结论）【答案】（1）AB=2OE；（2）AF+BF=2OE,证明见解析;AFBF=2OE 证明见解析;BFAF=2OE，【解析】试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）过点B作BHOE于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平
8、分可得OA=OB，AOB=90，再根据同角的余角相等求出AOE=OBH，然后利用“角角边”证明AOE和OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；过点B作BHOE交OE的延长线于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，AOB=90，再根据同角的余角相等求出AOE=OBH，然后利用“角角边”证明AOE和OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；同的方法可证试题解析：（1）AC，BD是正方形的对
9、角线，OA=OC=OB，BAD=ABC=90，OEAB，OE=AB，AB=2OE，（2）AF+BF=2OE证明：如图2，过点B作BHOE于点HBHE=BHO=90OEMN，BFMNBFE=OEF=90四边形EFBH为矩形BF=EH，EF=BH四边形ABCD为正方形OA=OB，AOB=90AOE+HOB=OBH+HOB=90AOE=OBHAEOOHB（AAS）AE=OH，OE=BHAF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OEAFBF=2OE 证明：如图3，延长OE，过点B作BHOE于点HEHB=90OEMN，BFMNAEO=HEF=BFE=90四边形HBFE为矩形BF=HE
10、，EF=BH四边形ABCD是正方形OA=OB，AOB=90AOE+BOH=OBH+BOHAOE=OBHAOEOBH（AAS）AE=OH，OE=BH，AFBF=AE+EFHE=OHHE+OE=OE+OE=2OEBFAF=2OE，如图4，作OGBF于G，则四边形EFGO是矩形，EF=GO，GF=EO，GOE=90，AOE+AOG=90在正方形ABCD中，OA=OB，AOB=90，AOG+BOG=90，AOE=BOGOGBF，OEAE，AEO=BGO=90AOEBOG（AAS），OE=OG，AE=BG，AEEF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，BFAF=BG+GF（AEE
11、F）=AE+OEAE+EF=OE+OE=2OE，BFAF=2OE3如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到B的位置，AB与CD交于点E.（1）求证：AEDCEB（2）若AB = 8，DE = 3，点P为线段AC上任意一点，PGAE于G，PHBC于H.求PG + PH的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由折叠的性质知，则由得到；（2）由，可得，又由，即可求得的长，然后在中，利用勾股定理即可求得的长，再过点作于，由角平分线的性质，可得，易证得四边形是矩形，继而可求得答案.【详解】（1）四边形为矩形， ，又 ， ；（2） ， ， ， ，在中，过点作于， ， ，
12、 ， ， 、共线， ，四边形是矩形， ， .【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.4如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C，连接AC并延长交直线DE于点P，F是AC的中点，连接DF（1）求FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出ACC的面积最大值【答案】（1）45；（2）BP+DPA
13、P，证明详见解析；（3）1【解析】【分析】（1）证明CDECDE和ADFCDF，可得FDPADC45；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明BAPDAP（SAS），得BPDP，从而得PAP是等腰直角三角形，可得结论；（3）先作高线CG，确定ACC的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C在BD上时，CG最大，其ACC的面积最大，并求此时的面积【详解】（1）由对称得：CDCD，CDECDE，在正方形ABCD中，ADCD，ADC90，ADCD，F是AC的中点，DFAC，ADFCDF，FDPFDC+EDCADC45；（2）结论：BP+DPAP，理由是：如图，作APAP交PD的延长线于P，PAP90，在正方形ABCD中，DABA，BAD90，DAPBAP，由（1）可知：FDP45DFP90APD45，P45，APAP，在BAP和DAP中，BAPDAP（SAS），BPDP，DP+BPPPAP；（3）如图，过C作CGAC于G，则SACCACCG，RtABC中，ABBC，AC，即AC为定值，当CG最大值，ACC的面积最大，连接BD，交AC于O，当C在BD上时，CG最大，此时G与O重合，CD
