《谈直线与圆锥曲线教学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《谈直线与圆锥曲线教学（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、谈直线与圆锥曲线教学揭东一中学吴银文2008年六月二十日谈直线与圆锥曲线教学揭东一中吴银文直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能 常见的解题思路是： 1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法 2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用
2、“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍 一、直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题，考查处理直线与圆锥曲线相交问题的一种方法“韦达定理法”，所以涉及弦长的问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，设而不求简化运算. 【例1】 已知直线l：y=（x+2）交椭圆x2+9y2=9于A、B两点，若为l的倾斜角，且|AB|的长不小于短轴的长，求的取值范围.例1提供的条件是弦长、短轴长，确定某一变量的取值范围
3、，因此应设法建立关于这一变量的不等式，而题设中已经明确给定弦长2b，最后可归结为计算弦长求解不等式的问题.解题思路：将l方程与椭圆方程联立，消去y， 得（1+9tan2）x2+36tan2x+72tan29=0，|AB|=|x2x1|=.由|AB|2，得tan2，tan.的取值范围是0，），）.二、直线与圆锥曲线问题常见的解题方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，化成一个关于x或关于y的一元二次方程，再利用弦长公式进行运算。但再解题过程我建议要辩证分析，区别对待。比如下面例题：【例2】 在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围.这道题属于直线与圆锥曲线问题，与例1有相似
4、之处，也有不同的地方，这道题涉及到对称问题，对称问题是高考的热点之一，由对称易得两个关系式.即“0”和对称点落在对称直线上，所以这道题可以利用方程联立、对称问题、判别式，熟练地利用韦达定理设而不求简化运算. 设B、C两点关于直线y=kx+3对称，易得直线BC：x=ky+m，避开繁琐讨论。解题思路：设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=ky+m，代入y24x，得y24ky4m=0， 设B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中点M（x0，y0），则y02k，x02k2+m.点M（x0，y0）在直线l上，2k=k（2k2m）+3.m=.又BC与抛物线交于不同两点，16k216m0.把
5、m代入化简得0，即0，解得1k0.三、直线与圆锥曲线问题常见的解题方法还有“点差法”比如：【例3】直线l过点M（1，1），与椭圆+=1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线l的方程.这道题是直线与圆锥曲线相交，并涉及到有关中点的问题应熟练地假设两个点，代入方程，设而不求简化运算. 解题思路：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则+=1， +=1. ，得+=0.=.又M为AB中点，x1+x2=2，y1+y2=2.直线l的斜率为.直线l的方程为y1=（x1），即3x+4y7=0.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往
6、通过消元最终归结为讨论一元二次方程根的情况.需要注意的是当直线平行于抛物线的对称轴或双曲线的渐近线时，直线与抛物线或双曲线有且只有一个交点.涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题，主要有这样几个方面：相交弦的长，有弦长公式|AB|=|x2x1|；弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决）.涉及到圆锥曲线焦点弦的问题，还可以利用圆锥曲线的焦半径公式（即圆锥曲线的第二定义），应掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法.四、上面三道例题都属于常规的例题，有时候
7、可能会出现例1与例2结合的类型题，或者再更加综合的问题，但只要我们能总结经验，多做反思，相信能够更好的掌握规例，解决问题。而且很好的理解直线与圆锥曲线问题，有利于更好、更轻松的解决问题。比如：（一）常规1已知对kR，直线ykx1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是A.（0，1） B.（0，5） C.1，5）（5，+） D.1，5）解析：直线ykx1=0恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点.所以，1且m0，得m1.故本题应选C. 2若双曲线x2y21的右支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，则a+b的值为A. B. C. D.2解析：P（
8、a，b）点在双曲线上，则有a2b2=1，即（a+b）（ab）=1.d=，|ab|=2.又P点在右支上，则有ab，ab=2.|a+b|2=1，a+b=. 答案：B（二）数形结合1过点（2，4）作直线与抛物线y2=8x只有一个公共点，这样的直线有（ ）. A、一条 B、两条 C、三条 D、四条分析:首先注意点（2，4）在抛物线上，其次只有一个公共点，包括直线平行于抛物线的对称轴，与抛物线交于一点，因而选B.2双曲线x2y21的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是A.（，0） B.（1，）C.（，0）（1，+） D.（，1）（1，）解析：数形结合法，与渐近
9、线斜率比较.答案：C直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往通过消元最终归结为讨论一元二次方程根的情况.需要注意的是当直线平行于抛物线的对称轴或双曲线的渐近线时，直线与抛物线或双曲线有且只有一个交点.涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题，主要有这样几个方面：相交弦的长，有弦长公式|AB|=|x2x1|；弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决）.涉及到圆锥曲线焦点弦的问题，还可以利用圆锥曲线的焦半径公式（即圆锥曲线的第二定义），应掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法.解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.1
