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1、角（基础）知识讲解撰稿：孙景艳审稿：赵炜【学习目标】1掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；6了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题【要点梳理】【高清课堂：角397364角的概念】要点一、角的概念1 角的定义：（ 1）定义一： 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边如图1 所示，角的顶点是点O，边是射线OA 、
2、 OB 图 1图 2（ 2）定义二： 一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部如图2 所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到 OB 的 位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA 是角的始边，终止位置OB 是角的终边要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线； 角的大小与角的两边的长短无关（2）平角与周角：如图1 所示射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2 所示继续旋转，OB 和 OA 重合时，所形成的角叫做周角2. 角的表示法：角的几何符号用“”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：
3、用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母3. 角的画法（ 1）用三角板可以画出 30、 45、 60、 90等特殊角（ 2）用量角器可以画出任意给定度数的角（ 3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角要点二、 角的比较与运算1. 角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360 等份，每一份就是1的角，1的1为 1 分，记作“1”，1的1为 1 秒，记作“1”这种以度、分、秒为单位的角6060的度量制，叫做角度制1 周角 360， 1 平角 180， 1 60， 1 60要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分
4、、秒计算，不够减，不够除的要借位， 从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算， 在相乘或相加时， 当低位得数大于 60 时要向高一位进位2. 角的比较： 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种方法 1：度量比较法先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小方法 2：叠合比较法把其中的一个角移到另一个角上作比较如比较 AOB 和 A O B的大小： 如下图， 由图（ 1）可得 AOB A O B；由图 ( 2) 可得 AOB A O B ；由图 ( 3) 可得 AOB A O B3. 角的和、差关系如图所示， AOB 是 1 与 2 的和，记作： AOB 1+ 2； 1 是 AOB 与
5、 2 的差，记作： 1 AOB - 2要点诠释：( 1) 用量角器量角和画角的一般步骤：对中 ( 角的顶点与量角器的中心对齐) ；重合( 一边与刻度尺上的零度线重合) ；读数 ( 读出另一边所在线的度数) ( 2)利用三角板除了可以做出30、 45、 60、 90外，根据角的和、差关系，还可以画出 15， 75， 105， 120， 135， 150， 165的角4. 角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线如图所示， OC 是 AOB 的角平分线，AOB 2 AOC 2 BOC ，AOC BOC =1 AOB 2要点诠释： 由角平分线的概念产生的合情推理
6、其思维框架与线段中点的思维框架一样要点三、 余角和补角1. 定义： 一般地，如果两个角的和等于 90( 直角 ) ，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角类似地，如果两个角的和等于 180 ( 平角 ) ，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角2 性质：（ 1）等角的余角相等 （2）等角的补角相等要点诠释：( 1) 互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关(2)一般地，锐角 的余角可以表示为(90 - ) ，一个角 的补角可以表示为(180 - )显然一个锐角的补角比它的余角大90。要点四、方位角在航行和测绘等工作中， 经常
7、要用到表示方向的角 例如，图中射线 OA 的方向是北偏东 60；射线 OB 的方向是南偏西 30这里的“北偏东 60”和“南偏西 30”表示方向的角，就叫做方位角要点诠释：（ 1）正东，正西，正南，正北4 个方向不需要用角度来表示；（ 2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东 60” 一般不说成 “东偏北30”；（ 3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；（ 4）图中的点O 是观测点，所有方向线( 射线 ) 都必须以O 为端点要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12 个大格，把周角12 等分、每个大
8、格对应30的角，分针1 分钟转 6，时针每小时转30，时针 1 分钟转 0. 5，利用这些关系， 可帮助我们解决钟表中角度的计算问题【典型例题】类型一、 角的概念及表示1. 下列语句正确的是()A 两条直线相交，组成的图形叫做角B两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角C两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角D过同一点的两条射线组成的图形叫做角【答案】 C【解析】 根据角的定义判断【总结升华】 角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素， 即两条射线间的相对位置关系，这是角与 “有公共端点的两条射线”的重要区别举一反三：【变式】判断下列说法是否正确( 1)
9、两条射线组成的图形叫做角()( 2) 平角是一条直线()( 3) 周角是一条射线()【答案】 ( 1) ( 2) ( 3) 2. 写出图中 ( 1) 能用一个字母表示的角； ( 2) 以 B 为顶点的角； ( 3) 图中共有几个角 ( 小于 180 ).【答案与解析】解： ( 1) 能用一个字母表示的角A、 C( 2) 以 B 为顶点的角 ABE 、 ABC 、 CBE ( 3) 图中共有7 个角【总结升华】 ( 1) 顶点处只有一个角时，才可以用一个字母表示；( 2) 一般数角时不包括平角和大于平角的角类型二、角度制的换算3. (1) 把 25. 72分别用度、分、秒表示( 2) 把 45
10、12 30化成度【思路点拨】 第 ( 1) 题中 25. 72中含有两部分25和 0. 72，只要把 0. 72化成分、 秒即可第 ( 2) 题中， 45 12 30含有三部分45， 12和 30，其中45已经是度，只要把 12和 30化成度即可【答案与解析】解： ( 1) 0. 72 0. 72 60 43. 2， 0. 2 0. 2 60 12，所以 25. 72 25 43 12( 2) 30 3010.5 ， 12.5 12.51 0.216060所以 45 12 30 45. 21【总结升华】 无论由高级单位向低级化还是由低级单位向高级化，都必须逐级进行，“越级”化单位容易出错举一反
11、三：【变式】 ( 1) 把 26. 29转化为度、分、秒表示的形式；( 2) 把 3324 36转化成度表示的形式【答案】 ( 1) 26. 29 26 +0. 29 26+0. 29 60 26 +17. 4 26 +17 +0. 460 2617 +24 26 17 24( 2) 3324 36 33 +24 +361 33+24 +0 . 660 33 +24. 6 33 +24 . 61 33. 4160【总结升华】 在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后再进行计算。类型四、角的比较与运算4. 不用量角器，比较图1 和图2 中角的大小( 用“”连接)【思路点拨】 图 1 中两角 、 均为锐角，因此，在不能测量的情形下，我们可以将图中的 向 平移， 让 与 始边重合， 观察终边的位置来比较角的大小 图 2 中的三个角按角的分类， 1 为锐角， 2 为直角， 3 为钝角，因此按照各自的范围就可以将它们的大小比较出来【答案与解析】解： ( 1) 如图所示，将 平移使 的始边与 的始边重合，发现 落在 内部，因此 ( 2) 由图可知 1 是锐角， 1 90， 2 是直角，即2 90，
