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1、完好版数学培优比赛新方法九年级第27讲抛物线与直线形由动点生成面积问题第27讲抛物线与直线型（3）由动点生成面积问题科学家就是为认识决重要的科学识题到达世上，绝不是为了遇到别人的提携和奖赏才做研究的，从中学开始，我就自己找困难的几何问题，找寻自己的数学之路。丘成桐知识纵横面积是平面几何中一个重要的看法，关系这平面图形中的重要元素与角。由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形联合的常有形式。解这类问题常用到以下与面积有关的知识：（ 1）图形的割补；（ 2）等积变形；（ 3）等比变化。例题求解【例1】如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120，获取
2、线段OB（ 1）求点B的坐标；（ 2）求经过A、O、B三点的抛物线的分析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上能否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明原由（昆明市中考题）思路点拨对于（3），抛物线的对称轴是直线x1，当点C位于的对称轴与线段AB的交点时，BOC的周长为最小，为此需求出直线AB的分析式；对于（4）过点p作y轴的平行线交AB分析式；对于（4），过点p作y轴的平行线交AB于D，则SPABSPADSPBD1(yDyP)(xBxA)x的二次函数。2，代入张开整理得对于【例2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，1），二次函数
3、yx2的图象记为抛物线l1（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l2，如图，求抛物线l2的函数表达式；（2）设抛物线l2的极点为C，K为y轴上一点若SABKSABC，求点k的坐标；（威海市中考题）思路点拨（1）设k点坐标为(0,h)，经过图形的切割计算，成立h的方程；（2）K点必在平行于AB的直线上，从等积变形下手。【例3】如图，已知点A（m,6)、B(m,1)为两动点，其中0m3，连结OA、OB，OAOB。（1）求证：mn=6；（2）当SAOB6时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；(3)在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过
4、点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问能否存在直线l，使？若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明原由。（潍坊中考题）【例4】如图，已知抛物线yax2bxc经过点A（2，3），B（6，1），C（0，-2）（1）求此抛物线的分析式，并用配方法把分析式化为极点式；（2）点P是抛物线对称轴上的动点，当APCP时，求点P的坐标；（3）设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E（t，n）是抛物线上的动点，四边形OEDC的面积为S当S取何值时，满足条件的点取何值时，满足条件的点E有两个？E只有一个？当S（2011年包头市中考题）分析由点的个数的商讨联想到“根的鉴别式”，解题的要
5、点是找寻n、S的关系，并成立对于t的一元二次方程。学历训练1如图，抛物线yax2bx(a0）与双曲线yk订交于点A，已知点B的坐标为xB（-2，-2），点A在第一象限内，且tanAOx=4过点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C（ 1）求双曲线和抛物线的分析式；（ 2）计算ABC的面积；（ 3）在抛物线上能否存在点D，使ABD的面积等于ABC的面积？若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明原由（2011年日照市中考题）(第1题）2如图，已知直线y1x与抛物线y1x26交于A、B两点，24（ 1）求A，B两点的坐标；（ 2）求线段AB的垂直均分线的分析式；（3）如图2，取与线段AB等长的
6、一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上挪动，动点P将与A，B构成无数个三角形，这些三角形中能否存在一个面积最大的三角形？假如存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；假如不存在，请简要说明原由（长沙市中考题）第二题3.如图，抛物线yax2bxc经过点A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，对称轴与抛物线相较于点P、与直线BC相较于M，连结PB。（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）抛物线上能否存在一点Q，使QMB与PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明原由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上能否存在一点R，使RPM与RMB的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明原由。（大连市中考题）第3题4.在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bxc与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，极点为E，极点为E。（1）若b=2，c=3，求此时抛物线极点E的坐标；（2）将（1）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足SBCE=SABC，求此时直线BC的分析式；（3）将（1）中的抛物线作合适的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足SBCE2SAOC，且极点E恰巧落在直线y4x3上，求此时抛物线的分析式（天津市中考题）
