《高中数学解题方法谈：图形背景中的等比数列问题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学解题方法谈：图形背景中的等比数列问题.doc（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、图形背景中的等比数列问题高考解答题已从过去单纯考查数列知识向综合问题转化，成为沟通函数、三角、方程、不等式、解析几何等知识的桥梁，体现了知识之间的内在联系 而现行高考常以几何图形为载体多方位考查数列问题，汲取了一些鲜活的成分，对考生思维颇有启迪下面谈谈在几何图形背景下等比数列问题的求解方案题型特点：图形按同一规律无限作下去，所求数列为无穷递缩等比数列；解题方向：根据题目条件，正确推算出无穷递缩等比数列的首项与公比；解题策略：抓住变中的不变量，即数据在改变，但其变化有规律例1如图1，第一个半圆的直径是3cm，第二个半圆的直径是2cm，以后每个半圆的直径都是前一个的，这样直到第个半圆，求整条曲线的
2、长解：第一个半圆的长是cm，第二个半圆的长是cm，第三个半圆的长是cm，第个半圆的长是cm，这些半圆的长组成了首项为cm，公比为的等比数列故整条曲线的长为cm评注：给出的图形只是问题的一个载体，我们只需从“形”中抽象出“数”，即归结为等比数列求和问题例2以正方形的四个顶点为圆心，以边长为半径，在正方形内画弧，得四个交点，再在正方形内用同样方法得到又一个正方形，这样继续作下去，求第个正方形的面积分析：以为等边三角形这一条件作为切入点，可正确求出相邻正方形边长之间的关系解：如图2，为正三角形，边长为，又，同理 在中，根据正弦定理，又，所有这些正方形的面积构成首项为，公比为的等比数列第个正方形面积为
3、评注：本题把几何问题与代数解法自然联系起来从运算到推理，都要有很强的思维判断能力和熟练的解题技能例3如图，一种树形图为：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与线段成135角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段，重复前面的作法作图至第n层，设树的第n层的最高点至水平线的距离为到第n层的树形的总高度试求：（）到第三层及第四层的树形图的总高度；（）到第n层的树形图的总高度；（）若树形的高度大于2，则称树形图为“高大”，否则称“矮小”，试判断该树形是“高大”呢，还是“矮小”呢？分析：解第（3）问时，应通过各层计算出的数据信息，抽象出各层高度之间的量化关系，要注意隔项成等比数列问题的求解解：（1）设此树各层高度构成数列，则，到第三层的树形图总高度为，到第四层的树形总高度为；（2）第层的高度到第层的树形图总高度为：当为奇函数时，；当为偶数时，；（3）由（2）知，当为奇数时，；当为偶数时，2；此树形为“矮小”评注：本题秉承了数列综合解答题着重于抽象推理，考查理性思维能力的做法，能有效地考查考生的数学功底问题背景的给出新颖别致，先从“形”入手得出一个递推关系，通过将它转化为等比数列，或者通过顺次迭代，以求出其通项，使考查的角度常考常新
