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1、2020-2021九年级中考数学平行四边形解答题压轴题提高专题练习及答案一、平行四边形1如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形（1）用尺规将图1中的ABC分割成两个互补三角形；（2）证明图2中的ABC分割成两个互补三角形；（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为、的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积若ABC的面积为2，求以EF、D
2、I、HG的长为边的三角形面积【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）62；6【解析】试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可（2）根据互补三角形的定义证明即可（3）画出图形后，利用割补法求面积即可平移CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，只要证明SEFM=3SABC即可试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD，ABD和ADC是互补三角形（2）如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，AB=AE，AF=AC，BAE=CAF=90，EAF+BAC=180，AEF和ABC是两个互补三角形EAH+HAB=BAC+HAB=90，E
3、AH=BAC，AF=AC，AH=AB，在AEH和ABC中，AEHABC，SAEF=SAEH=SABC（3）边长为、的三角形如图4所示SABC=3421.53=5.5，S六边形=17+13+10+45.5=62如图3中，平移CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设ABC=x，AMCH，CHBC，AMBC，EAM=90+90x=180x，DBI=3609090x=180x，EAM=DBI，AE=BD，AEMDBI，在DBI和ABC中，DB=AB，BI=BC，DBI+ABC=180，DBI和ABC是互补三角形，SAEM=SAEF=SAFM=2，SEFM=3SABC=6考点：1、作图应用
4、与设计，2、三角形面积2如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C，连接AC并延长交直线DE于点P，F是AC的中点，连接DF（1）求FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出ACC的面积最大值【答案】（1）45；（2）BP+DPAP，证明详见解析；（3）1【解析】【分析】（1）证明CDECDE和ADFCDF，可得FDPADC45；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明BAPDAP（SAS），得BPDP，从而得PAP是等腰直角三角形，可得结论；
5、（3）先作高线CG，确定ACC的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C在BD上时，CG最大，其ACC的面积最大，并求此时的面积【详解】（1）由对称得：CDCD，CDECDE，在正方形ABCD中，ADCD，ADC90，ADCD，F是AC的中点，DFAC，ADFCDF，FDPFDC+EDCADC45；（2）结论：BP+DPAP，理由是：如图，作APAP交PD的延长线于P，PAP90，在正方形ABCD中，DABA，BAD90，DAPBAP，由（1）可知：FDP45DFP90APD45，P45，APAP，在BAP和DAP中，BAPDAP（SAS），BPDP，DP+BPPPAP；（3）
6、如图，过C作CGAC于G，则SACCACCG，RtABC中，ABBC，AC，即AC为定值，当CG最大值，ACC的面积最大，连接BD，交AC于O，当C在BD上时，CG最大，此时G与O重合，CDCD，ODAC1，CG1，SACC【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题3已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF（1）求证：DOEBOF（2）当DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由【答案】（1）证
7、明见解析；（2）当DOE=90时，四边形BFED为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出DOEBOF（ASA）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案试题解析：（1）在ABCD中，O为对角线BD的中点，BO=DO，EDB=FBO，在EOD和FOB中，DOEBOF（ASA）；（2）当DOE=90时，四边形BFDE为菱形，理由：DOEBOF，OE=OF，又OB=OD，四边形EBFD是平行四边形，EOD=90，EFBD，四边形BFDE为菱形考点：平行四
8、边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定4已知RtABD中，边AB=OB=1，ABO=90问题探究：（1）以AB为边，在RtABO的右边作正方形ABC，如图（1），则点O与点D的距离为 （2）以AB为边，在RtABO的右边作等边三角形ABC，如图（2），求点O与点C的距离问题解决：（3）若线段DE=1，线段DE的两个端点D，E分别在射线OA、OB上滑动，以DE为边向外作等边三角形DEF，如图（3），则点O与点F的距离有没有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，说明理由【答案】(1)、；(2)、；(3)、.【解析】【分析】试题分析：(1)、如图1中，连接OD，在RtODC中，根据OD=计算
9、即可(2)、如图2中，作CEOB于E，CFAB于F，连接OC在RtOCE中，根据OC=计算即可(3)、如图3中，当OFDE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM分别求出MH、OM、FH即可解决问题【详解】试题解析：(1)、如图1中，连接OD，四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD=AD=1，C=90 在RtODC中，C=90，OC=2，CD=1，OD=(2)、如图2中，作CEOB于E，CFAB于F，连接OCFBE=E=CFB=90， 四边形BECF是矩形， BF=CF=，CF=BE=，在RtOCE中，OC=(3)、如图3中，当OFDE时，OF的值最大
10、，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DMFD=FE=DE=1，OFDE， DH=HE，OD=OE，DOH=DOE=22.5， OM=DM，MOD=MDO=22.5， DMH=MDH=45， DH=HM=， DM=OM=，FH=， OF=OM+MH+FH=OF的最大值为考点：四边形综合题5如图，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上（1）证明：BE=CF（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值（3）在（2）的情况
11、下，请探究CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值【答案】(1)见解析；（2）；（3）见解析【解析】试题分析：（1）先求证AB=AC，进而求证ABC、ACD为等边三角形，得4=60，AC=AB进而求证ABEACF，即可求得BE=CF；（2）根据ABEACF可得SABE=SACF，故根据S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可解题；（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据SCEF=S四边形AECF-SAEF，则CEF的面积就会最大.试题解
12、析：（1）证明：连接AC，1+2=60，3+2=60，1=3，BAD=120，ABC=ADC=60四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD，ABC、ACD为等边三角形4=60，AC=AB，在ABE和ACF中，ABEACF（ASA）BE=CF（2）解：由（1）得ABEACF，则SABE=SACF故S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值作AHBC于H点，则BH=2，S四边形AECF=SABC=；（3）解：由“垂线段最短”可知，当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短故AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又S
13、CEF=S四边形AECFSAEF，则CEF的面积就会最大由（2）得，SCEF=S四边形AECFSAEF=点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证ABEACF是解题的关键6（1）（问题发现）如图1，在RtABC中，ABAC2，BAC90，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为 （2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长【答案】（1）BE=AF；（2）无变化；（3）AF的长为1或+1【解析】试题分析：（1）先利用等腰直角三角形的性质得出AD= ，再得出BE=AB=2，即可得出结论；（2）先利用三角函数得出，同理得出，夹角相等即可得出ACFBCE，进而得出结论；（3）分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2，先
