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1、2020-2021九年级中考数学平行四边形解答题压轴题提高专题练习及答案一、平行四边形1如果两个三角形的两条边对应相等,夹角互补,那么这两个三角形叫做互补三角形,如图2,分别以ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF,则图中的两个三角形就是互补三角形(1)用尺规将图1中的ABC分割成两个互补三角形;(2)证明图2中的ABC分割成两个互补三角形;(3)如图3,在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI已知三个正方形面积分别是17、13、10,在如图4的网格中(网格中每个小正方形的边长为1)画出边长为、的三角形,并计算图3中六边形DEFGHI的面积若ABC的面积为2,求以EF、D
2、I、HG的长为边的三角形面积【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析(3)62;6【解析】试题分析:(1)作BC边上的中线AD即可(2)根据互补三角形的定义证明即可(3)画出图形后,利用割补法求面积即可平移CHG到AMF,连接EM,IM,则AM=CH=BI,只要证明SEFM=3SABC即可试题解析:(1)如图1中,作BC边上的中线AD,ABD和ADC是互补三角形(2)如图2中,延长FA到点H,使得AH=AF,连接EH四边形ABDE,四边形ACGF是正方形,AB=AE,AF=AC,BAE=CAF=90,EAF+BAC=180,AEF和ABC是两个互补三角形EAH+HAB=BAC+HAB=90,E
3、AH=BAC,AF=AC,AH=AB,在AEH和ABC中,AEHABC,SAEF=SAEH=SABC(3)边长为、的三角形如图4所示SABC=3421.53=5.5,S六边形=17+13+10+45.5=62如图3中,平移CHG到AMF,连接EM,IM,则AM=CH=BI,设ABC=x,AMCH,CHBC,AMBC,EAM=90+90x=180x,DBI=3609090x=180x,EAM=DBI,AE=BD,AEMDBI,在DBI和ABC中,DB=AB,BI=BC,DBI+ABC=180,DBI和ABC是互补三角形,SAEM=SAEF=SAFM=2,SEFM=3SABC=6考点:1、作图应用
4、与设计,2、三角形面积2如图,在正方形ABCD中,E是边BC上的一动点(不与点B、C重合),连接DE、点C关于直线DE的对称点为C,连接AC并延长交直线DE于点P,F是AC的中点,连接DF(1)求FDP的度数;(2)连接BP,请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系,并证明;(3)连接AC,若正方形的边长为,请直接写出ACC的面积最大值【答案】(1)45;(2)BP+DPAP,证明详见解析;(3)1【解析】【分析】(1)证明CDECDE和ADFCDF,可得FDPADC45;(2)作辅助线,构建全等三角形,证明BAPDAP(SAS),得BPDP,从而得PAP是等腰直角三角形,可得结论;
5、(3)先作高线CG,确定ACC的面积中底边AC为定值2,根据高的大小确定面积的大小,当C在BD上时,CG最大,其ACC的面积最大,并求此时的面积【详解】(1)由对称得:CDCD,CDECDE,在正方形ABCD中,ADCD,ADC90,ADCD,F是AC的中点,DFAC,ADFCDF,FDPFDC+EDCADC45;(2)结论:BP+DPAP,理由是:如图,作APAP交PD的延长线于P,PAP90,在正方形ABCD中,DABA,BAD90,DAPBAP,由(1)可知:FDP45DFP90APD45,P45,APAP,在BAP和DAP中,BAPDAP(SAS),BPDP,DP+BPPPAP;(3)
6、如图,过C作CGAC于G,则SACCACCG,RtABC中,ABBC,AC,即AC为定值,当CG最大值,ACC的面积最大,连接BD,交AC于O,当C在BD上时,CG最大,此时G与O重合,CDCD,ODAC1,CG1,SACC【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题3已知:如图,在平行四边形ABCD中,O为对角线BD的中点,过点O的直线EF分别交AD,BC于E,F两点,连结BE,DF(1)求证:DOEBOF(2)当DOE等于多少度时,四边形BFDE为菱形?请说明理由【答案】(1)证
7、明见解析;(2)当DOE=90时,四边形BFED为菱形,理由见解析.【解析】试题分析:(1)利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出DOEBOF(ASA);(2)首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形,进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED,即可得出答案试题解析:(1)在ABCD中,O为对角线BD的中点,BO=DO,EDB=FBO,在EOD和FOB中,DOEBOF(ASA);(2)当DOE=90时,四边形BFDE为菱形,理由:DOEBOF,OE=OF,又OB=OD,四边形EBFD是平行四边形,EOD=90,EFBD,四边形BFDE为菱形考点:平行四
8、边形的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的判定4已知RtABD中,边AB=OB=1,ABO=90问题探究:(1)以AB为边,在RtABO的右边作正方形ABC,如图(1),则点O与点D的距离为 (2)以AB为边,在RtABO的右边作等边三角形ABC,如图(2),求点O与点C的距离问题解决:(3)若线段DE=1,线段DE的两个端点D,E分别在射线OA、OB上滑动,以DE为边向外作等边三角形DEF,如图(3),则点O与点F的距离有没有最大值,如果有,求出最大值,如果没有,说明理由【答案】(1)、;(2)、;(3)、.【解析】【分析】试题分析:(1)、如图1中,连接OD,在RtODC中,根据OD=计算
9、即可(2)、如图2中,作CEOB于E,CFAB于F,连接OC在RtOCE中,根据OC=计算即可(3)、如图3中,当OFDE时,OF的值最大,设OF交DE于H,在OH上取一点M,使得OM=DM,连接DM分别求出MH、OM、FH即可解决问题【详解】试题解析:(1)、如图1中,连接OD,四边形ABCD是正方形, AB=BC=CD=AD=1,C=90 在RtODC中,C=90,OC=2,CD=1,OD=(2)、如图2中,作CEOB于E,CFAB于F,连接OCFBE=E=CFB=90, 四边形BECF是矩形, BF=CF=,CF=BE=,在RtOCE中,OC=(3)、如图3中,当OFDE时,OF的值最大
10、,设OF交DE于H,在OH上取一点M,使得OM=DM,连接DMFD=FE=DE=1,OFDE, DH=HE,OD=OE,DOH=DOE=22.5, OM=DM,MOD=MDO=22.5, DMH=MDH=45, DH=HM=, DM=OM=,FH=, OF=OM+MH+FH=OF的最大值为考点:四边形综合题5如图,在菱形ABCD中,AB=4,BAD=120,AEF为正三角形,E、F在菱形的边BC,CD上(1)证明:BE=CF(2)当点E,F分别在边BC,CD上移动时(AEF保持为正三角形),请探究四边形AECF的面积是否发生变化?若不变,求出这个定值;如果变化,求出其最大值(3)在(2)的情况
11、下,请探究CEF的面积是否发生变化?若不变,求出这个定值;如果变化,求出其最大值【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析【解析】试题分析:(1)先求证AB=AC,进而求证ABC、ACD为等边三角形,得4=60,AC=AB进而求证ABEACF,即可求得BE=CF;(2)根据ABEACF可得SABE=SACF,故根据S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可解题;(3)当正三角形AEF的边AE与BC垂直时,边AE最短AEF的面积会随着AE的变化而变化,且当AE最短时,正三角形AEF的面积会最小,又根据SCEF=S四边形AECF-SAEF,则CEF的面积就会最大.试题解
12、析:(1)证明:连接AC,1+2=60,3+2=60,1=3,BAD=120,ABC=ADC=60四边形ABCD是菱形,AB=BC=CD=AD,ABC、ACD为等边三角形4=60,AC=AB,在ABE和ACF中,ABEACF(ASA)BE=CF(2)解:由(1)得ABEACF,则SABE=SACF故S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC,是定值作AHBC于H点,则BH=2,S四边形AECF=SABC=;(3)解:由“垂线段最短”可知,当正三角形AEF的边AE与BC垂直时,边AE最短故AEF的面积会随着AE的变化而变化,且当AE最短时,正三角形AEF的面积会最小,又S
13、CEF=S四边形AECFSAEF,则CEF的面积就会最大由(2)得,SCEF=S四边形AECFSAEF=点睛:本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质,考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质,考查了三角形面积的计算,本题中求证ABEACF是解题的关键6(1)(问题发现)如图1,在RtABC中,ABAC2,BAC90,点D为BC的中点,以CD为一边作正方形CDEF,点E恰好与点A重合,则线段BE与AF的数量关系为 (2)(拓展研究)在(1)的条件下,如果正方形CDEF绕点C旋转,连接BE,CE,AF,线段BE与AF的数量关系有无变化?请仅就图2的情形给出证明;(3)(问题发现)当正方形CDEF旋转到B,E,F三点共线时候,直接写出线段AF的长【答案】(1)BE=AF;(2)无变化;(3)AF的长为1或+1【解析】试题分析:(1)先利用等腰直角三角形的性质得出AD= ,再得出BE=AB=2,即可得出结论;(2)先利用三角函数得出,同理得出,夹角相等即可得出ACFBCE,进而得出结论;(3)分两种情况计算,当点E在线段BF上时,如图2,先