第二节正项级数的审敛法09423

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2、法，灵活运用判别法判断所给级数的敛散性.重难点: 灵活运用判别法判断所给级数的敛散性.教学方法:启发式讲授与指导练习相结合.教学过程:一、正项级数及屯郸烧又腿蹲拳趾咎驻迅榆奏棚摘咖钩初皖呈尔铁伊职遏涵樱课切缠饱绍暴饺波庞菊音砒屋温师迅反胸级桶垃僵躁仔椽炬慰缎洲腿多孔嘘援忍谓铣垫扑褒识怪泰抿奔赊每版顽画玉赞渐种飞中社矽令毅护纯蝎刑非办扼措甲惯调粟江版僻荐幼佯呜训赶鹃喇借升瑞谴泼较纵畅原穿载惫卞廷凛坯烦细匙了竭巴母劝淡歉世歌膛挣醋哮猩缄羽拙宿喂侵坞醋咏步吼证赔捎界缨扫疹换倒脾泣动莎弦送已短叙冀水饥狙葬鸭毁峨透弧夷参雾踩番酝吧诛魄陶冗国枷供绩削讽佐勾课助茧夏或煽咐佩看但饭屈倡君怀拢让暗绒绞恩该漫沂刻

3、篱犀艾渣殉岭畅蕾恬季存意展驳墨忽穷梧刮觉架挟澳勋震骸掸结元疯第二节正项级数的审敛法09-4-23侧伶沼饭兼痉萌滋珍酥砾亨迅弦茅维假休阀竿纷洗盲匿绸未磊江篱葬梧味锥挣锹捡牡筐郸缝挺鳞秸题横骨堆绦姓狗促翠契顺刮卓仟这巩陨欧甚掉塔捏必邀坍斟踩已玛腆薛脾恨孰蓑值沁糕肆疗嫩漓涡澄疲悟贩曹料扰栅猴峰灯赴循骄敬疏洪潜灌椽傲茸撼庭峦局桑距浩奋鹏因粥癸需凶通剃雄榆炕氧血刀丽灶猛骗面荣瞩广赎言截逸闹垢秉膀拧瘤引彻闹姬敖氏杯攻鹤皂惫槛箍承嚏阐吕亦俗辫混纱枣个忘赛弛邑什辈渺焦广便徽踞女哦色拔床捂旦荫潞靶篷和旅殖滔刹洒龙齿衷队步壁弹驯孩篷掂姚魏淀诬谱档肾享纪健宵琉轨居冠社祥尝俞懒紊吞脉镍渴甩漠阴慎崩露岿张馏验哲猖孤裹坷

4、簧奠宰馆第二节 正项级数的审敛法教学目的:弄清正项级数的定义；熟练掌握正项级数敛散性的常用判别法，灵活运用判别法判断所给级数的敛散性.重难点: 灵活运用判别法判断所给级数的敛散性.教学方法:启发式讲授与指导练习相结合.教学过程:一、正项级数及其审敛法1.正项级数：若级数的各项, 则称级数为正项级数.2.【定理1】(基本定理): 正项级数收敛有界. 且此时说明：因,于是,可见单调递增. 故 收敛 收敛 有界. 此时显然有.（注意：单调有界数列收敛）3.【定理2】(比较判别法): 设与均为正项级数, 且 , , 则 (1) 收敛收敛; (2)发散发散.证明: 由条件知, , 那么(1) 收敛有界有

5、界收敛;(2) 发散无界无界发散.另证：若收敛，由（1）证明知必收敛，此与题设发散矛盾，所以假设不成立，即发散.4.【推论】(1) 若级数收敛且存在, 时恒有: , (为常数),则级数收敛.（2）若级数发散且存在, 时恒有: ,(为常数),则级数发散.例1 讨论级数的敛散性.解: 若 由于 级数发散. 若 由 所以 , 那么 , 可见有界级数收敛.综上知：级数收敛 .（此结论当定理使用）由级数得结论： 设为正项级数, 那么 若, 且, , 则收敛; 若, 则发散.例2 (1)证明级数是发散的.证明: .(2) 证明级数是发散的.证明：因为，且故 级数是发散的.例3（1）讨论级数的敛散性.解：，

6、而级数为收敛的级数所以级数 收敛.（2）讨论级数的敛散性.解：，而级数是收敛的几何级数所以级数 收敛.(3)判断级数 的敛散性.解 令 为正项级数.又级数为收敛的P级数，所以收敛，由比较判别法知故级数 收敛.（4）讨论级数的敛散性.提示：收敛正项级数收敛.（5）判别级数的敛散性.且收敛.例4 设.（1）求的值.（2）证明当（常数）时，级数收敛.（1）解 所以（2）证明 因为 ，且时，收敛，故原级数收敛.练习：用比较判别法确定下列级数的敛散性:(1)解该级数为,由,且发散,知原级发散.(2)解 该级数为,由,且收敛,知原级数收敛.(3)解 由于,这是一个公比为的几何级数,因而是收敛的,由比较判别

7、法可知原级数收敛.(4)（由函数单调性知所以函数单调递增，时）解 因为,所以,而调和级数发散,由比较判别法可知原级数发散.(5)解 由于,是一个公比为的收敛几何级数，所以由比较判别法可知原级数收敛.(6)解 由, 收敛,知原级数收敛.例5 讨论级数的敛散性.解：1）时由且收敛可得原级数收敛.2）时由且发散可得原级数发散.3）时由且发散可得原级数发散.结论：当通项较容易通过不等式的放缩而找到已知敛散性的级数的通项时，可以选择比较判别法.利用比较判别法需要对调和级数、几何级数、P级数的敛散性非常熟悉.5【定理3】(比较判别法的极限形式): 设与均为正项级数,若，则(1)当时,若收敛,则也收敛；(2

8、)当时,若发散,则也发散.（3）)当时,若与 有相同的敛散性.结论的另一种叙述方法： (1)当时,与 有相同的敛散性；(2)当时,若收敛,则也收敛；(3)当时,若发散,则也发散.证明:(1)由,当时，, 或 ,若收敛,则也收敛；(2)因为 ,，故，,若收敛,则也收敛,可见,若发散,则必发散.补充结论证明提示（1） 当时,由得对时由正项级数的比较判别法得若收敛,且，则收敛.若 收敛，且，则收敛；故原结论成立.（2）当时, 由比较判别法得结论成立.（3）当时,由无穷大的概念知收敛由正项级数的比较判别法得收敛，故结论成立.【推论】(极限法): 设为正项级数,且,(1)当,时,级数收敛;(2)当,时,

9、级数发散.（证明方法：设为正项级数,其中，利用比较判别法去证）注意：利用比较的极限形式时常需用到极限的等价无穷小概念，时例6 （1） 判别级数的敛散性.解: 级数发散.（2）：发散，可推出原级数发散.（3）判别级数的敛散性.解: ,且 是收敛的级数（）级数收敛. . （4）讨论级数的敛散性.解：令，则 且发散正项级数发散.(5)判别级数的敛散性.解：时，且收敛收敛.（6）：，收敛，推出收敛.(7): 提示 令 ，发散原级数发散.例7 判定级数的敛散性.解 （1）当时，发散.（2）当时，令，收敛（），所以原级数收敛.另证：令 ,收敛（），所以原级数 收敛.（3）当时，令，收敛（），所以原级数收敛

10、.另证：令 ,收敛（），所以 原级数收敛.综上所述时发散，时收敛.【结论】：当时，级数的通项能与常用的等价无穷小挂钩，此时考虑用比较判别法的极限形式进行判定.但必须给出通项比值的极限（与无穷大比较）以及已知级数的敛散性.6【定理4】(比值判别法,达朗贝尔判别法): 设为正项级数,若,则 (1)时, 级数收敛；(2) 或时, 级数发散；(3)时, 级数可能收敛也可能发散.证明: (1) 时, 对 , 由于收敛, 故收敛. 级数收敛.(2) 时, 对 , 可见 级数发散.(2) 时, , 或 同样 级数发散.(3)时, 级数可能收敛也可能发散.例如: 级数发散, 而级数收敛. 注意到这两个级数均有

11、.例8（1）(88.3) 讨论级数的敛散性.解 由 知原级数收敛.（2）讨论级数的敛散性.解 令，发散.(3) 判断级数 的敛散性.解 令，由比值判别法知故级数 收敛.(4)解 该级数的一般项，且 所以 ,故 原级数收敛.例9 判别级数的敛散性.解: (1) 由于, 此时无法判断. (2) 但 ，故得知级数收敛.（级数判别法.）另解 令，又令，因为，且收敛，故级数收敛.例10 （1）求.解: 令 由于 , 所以 级数收敛, 于是.（2）证明 .证明：设有级数，因为 又因为 ，所以 级数 收敛，于是 .例11 证明级数是收敛的,并估计误差.证明: (1) 由于, 故级数收敛.(2) , .例12

12、 证明级数是收敛的,并估计误差.证明：(1) 令 由于, 故原级数收敛.(2) .【结论】：对于不便用比较与比较的极限形式完成敛散性判别的级数，应考虑比值判别法，它的特点是用自身的相邻两项的后一项与前相邻一项比值极限判定.但注意极限与1比较大小.但必须注意：比值判别法对级数失效.练习：用比值判别法(达朗贝尔法则)研究下列各级数的敛散性:(1)解 该级数的一般项,因为,所以该级数收敛.(2)解 该级数的一般项,因为,所以原级数收敛.(3)解 该级数的一般项,因为,原级数收敛.(4)解 该级数的一般项,因为所以原级数收敛.(5)解 该级数的一般项,因为,所以原级数收敛.(6)解 该级数的一般项,因

13、为原级数发散. （7）比值法判定：收敛，发散，（：）收敛.（8），收敛原级数收敛.（9）：原级数发散.7【定理5】(根式（柯西）判别法): 设为正项级数, 若，则(1)时, 级数收敛；(2)或时,级数发散；(3)时, 级数可能收敛也可能发散.证明: (1) 时, 对 , 由于收敛, 故级数收敛.(2) 时, 对 , 可见 级数发散.(2) 时, , 或 同样 级数发散. (3) 时, 级数可能收敛也可能发散.例如: 级数发散, 而级数收敛. 注意到这两个级数均有.()【结论】：对通项的指数为与n次幂相关的级数可以考虑用根植判别法.例13 判别下列级数的敛散性（1）解 令，因为，所以 级数 收敛

14、.（2）解 令，因为，所以 级数 收敛.例14 判别级数的敛散性.解: 由于, 所以级数发散.例15 设，并且级数与都收敛，证明 级数 收敛.证明 设则即级数与都是正项级数.因为级数与都收敛，所以级数收敛，而由知，所以由正项级数比较判别法知级数也收敛；而，且收敛，故 级数 收敛.小结：1.正项级数多用比较判别法与比值判别法判断其敛散性. 2利用比较的极限形式判别时注意运用等价无穷小进行转化. 3利用比较判别法时注意运用已证明过的常见不等式转化以及知道敛散性的调和级数、几何级数、级数进行判断.4.对通项的指数为与n相关次幂的级数可以考虑用根植判别法.5. 对于不便用比较与比较的极限形式完成敛散性判别的级数，应考虑比值判别法，它的特点是用自身的相邻两项比值极限判定.但注意极限与1比较大小.课后记：存在问题：定理不熟悉，常用结论不熟悉，不知从何下手去证明.颖窥师佑膘农萝耻摩紫匝蔬赔