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1、数值计算方法训练实习报告题 目：6A组院 系：上海电力学院数理学院专业年级：信息与计算科学专业2009级学生姓名： XX远 学号： 200924262011年7月8日第1题：含炭量与时间的关系在某冶炼过程中，钢的含炭量y与时间t的统计数据如下t 0510152025303540455055y 01.22.12.83.43.84.14.34.54.54.04.676647571824(1) 画出原始数据分布趋势图；(2) 用最小二乘法求钢的含炭量y与时间t的拟合曲线)=at + bt2 + ct3 ；(3) 打印出拟合曲线；(4) 另外选用y = atb进行拟合，比较二种拟合的效果。解：分析：使
2、用到曲线拟合的最小二乘法，对于拟合函数，尽量转化为可以方便 提炼出基函数的方程。在明确基函数的基础上，通过计算，得到各个系数，得到 法方程组(1)，程序：function yuan(y)t=0:5:55；plot(t,y,*)legend(原始数据分布趋势图)运行结果：yuan(0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.5854.543.534.02 4.64)*米原始数据分布趋势图2.5210.5原始数据分布趋势(2)，彳so：取基函数为：中0 = t 中1 = t2 中2 - t3：由基函数和y求法方程组的系数:(%,%)=肉 (土)叩。(？i
3、=1(阡号=幻1(七)气(七)i=1的 & ) = & (x )叩(X )222i 2ii=1(f & ) = y 叩(x )0i 0 ii=1：由这些系数，的。,气）=&。（七）气（七）i=1的产2）=& 1（七）叩23）i=1(%,%) = & O(P%(七)i=1(f & ) = y 叩 3) 1i 1 ii=1确定法方程组：(f &2) = y .%(七)i=1(甲,甲0)(平，甲)01(甲,甲2)(f 平。(f, %)(f, /)2（也,甲）（平，甲）1 1（也，甲2）（甲2,甲0）（平，甲）21（甲2,甲2）:解这个法方程组：A - X = Bb，得到拟合函数：y = at + b
4、t2 + ct3 c程序：function a,b,c=xian(y0) t0=0:5:55;k1=t0;k2=t0.*t0;k3=t0.*t0.*t0;A=sum(k1.*k1)sum(k2.*k1)sum(k3.*k1);sum(k1.*k2)sum(k2.*k2)sum(k3.*k2);sum(k1.*k3) sum(k2.*k3) sum(k3.*k3);B=sum(k1.*y0);sum(k2.*y0);sum(k3.*y0);x=pinv(A)*B;a=x(1,1);b=x(2,1);c=x(3,1);t=0:55;y=a.*t+b.*t.”2+c.*t.”3;plot(t,y,，
5、-，) hold on plot(t0,y0,，*，)legend(y=a*t+b*t2+c*t3 拟合效果，真实值) 运行结果：a,b,c=xian(0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64) a =0.2657 b =-0.0053 c =3.5168e-005(3)拟合的图形，即上一题显示的图像图2拟合函数J = at + bt2 + ct3效果(4)，用于这种非线性模型的拟合：把其化作线性：J=atb一两边同时取以e为底的对数一ln( j) = ln a + b - ln t：重复上面第二题的步骤进行，其中需要强调
6、的是(0,0)的点需要另外输入，因为ln(0)不存在，为了在同图出现，故对第二条拟合函数，取m = a n = b 程序：function m,n,a,b,c=fei(y2,y0)%y2=y0 除了 0 以外的数y1=log(y2);t1=5:5:55;n=length(t1);k1=ones(1,n);k2=log(t1);A=sum(k1.*k1) sum(k2.*k1);sum(k1.*k2) sum(k2.*k2);B=sum(k1.*y1);sum(k2.*y1);x=pinv(A)*B;m=exp(x(1,1);n=x(2,1);t=0:55;y=m*t.n;plot(t,y,，-
7、，)hold ona,b,c=xian(y0)plot(t,y,，-，)hold onplot(t1,y2,，*，,0,0,，*，)legend(，y=m*t.”n 拟合效果，y=a*t+b*t2+c*t3 拟合效果，真实值，)得到的拟合图像：1102030405060654320木0y=m*t. n拟合效果y=a*t+b*t 2+c*t 3 拟合效果真实值图3两种拟合函数拟合效果对比结论：在实际生活当中，不免需要对一组数据进行拟合，通过采用最佳的拟 合，找到一个近似的函数来研究数据的共性。通过这一道题目，发现不同的函数， 拟合效果差别也是蛮大的。第2题：特征值与特征向量用幕法求下列矩阵的主特
8、征值与相应的特征向量2 46 -3- 4 3一(1) A =3 9 15(2) A =-4 6 3124 16 36331解：利用幕法求矩阵A的主特征值与相应的特征向量，首先要给一个初始向量:T1 ：定义一个和A行数一致的1列全一矩阵，即v。= 1M1nxl ：v0= A.v0，为了方便计算，减少计算量，需要求出V1中按模最大的那个分量的值P，同时得到向量u =匕，由此可知u = v11 P001：重复第二步，得到V2 P2：计算P -P|，看其是否大于给定的误差，如果大于，则令V = V，P = P2 11212并从第三步开始重复；如果小于，则P为所求的按模最大的特征值，即主特征值，v2为其
9、对应的特征向量流程图：表1幂法求主特征值的流程图程序：function v2,p2=maxtr(A,err)n=size(A,2);v0=ones(n,1);v1=A*v0;p1=max(v1);u1=v1/p1;v2=A*u1;p2=max(v2);i=1;while i0if abs(p2-p1) f 2 (0 x 5)J (0) = 2取步长h=0.25，并画出0 x 5数值解的曲线。解：对于四阶龙格-库塔法，我们在求第k+1个点的值时，必须知道第k个点的 值，在通过中间的一些变量，使结果更加精确。：由题意可以确定初始值，即丁。丁 2*1= h - f (Xn，*)(2)：分别计算出:v
10、 k2 = h - f (x + h2,七k = h - f (x + /, y3 n 2 n(3) : y = y + + (k + 2k + 2k + k ) x = x + h，由 n = 0开始，直至x = 5 n+1n 6 1234n+1n程序：function x,y=rk(x0,y0,a,b,h)%x0,y0 为方程的初值 x(1)=x0;y(1)=y0;n=(b-a)/h;for j=1:nk1二h*f(x(j),y(j);k2=h*f(x(j)+h/2,y(j)+k1/2);k3=h*f(x(j)+h/2,y(j)+k2/2);k4=h*f(x(j)+h,y(j)+k3);y
11、(j+1)=y(j)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);x(j+1)=x(j)+h;endplot(x,y,r:)hold onxx=0:0.2:5;yy=2./(xx.”2+1);plot(xx,yy,g-)legend(h=0.25的数值解，解析解)function z=f(x,y)z=-x*y“2;运行结果：x,y=rk(0,2,0,5,0.25)x =Columns 1 through 600.25000.50000.75001.00001.2500Columns 7through 121.50001.75002.00002.25002.50002.7500Columns 13through 183.00003.25003.50003.75004.00004.2500Columns 19through 214.50004.75005.0000y =Columns 1through 62.00001.88231.599
