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1、第9讲 数字谜(一)我们在三年级已经学习过一些简单的数字谜问题。这两讲除了复习巩固学过的知识外,还要学习一些新的内容。例1 在下面算式等号左边合适的地方添上括号,使等式成立:5+78+124-220。分析:等式右边是20,而等式左边算式中的78所得的积比20大得多。因此必须设法使这个积缩小一定的倍数,化大为小。从整个算式来看,78是4的倍数,12也是4的倍数,5不能被4整除,因此可在78+12前后添上小括号,再除以4得17,517-2=20。解:5+(78+12)4-2=20。例2 把19这九个数字填到下面的九个里,组成三个等式(每个数字只能填一次):分析与解:如果从加法与减法两个算式入手,那
2、么会出现许多种情形。如果从乘法算式入手,那么只有下面两种可能:236或248,所以应当从乘法算式入手。因为在加法算式+=中,等号两边的数相等,所以加法算式中的三个内的三个数的和是偶数;而减法算式-=可以变形为加法算式=+,所以减法算式中的三个内的三个数的和也是偶数。于是可知,原题加减法算式中的六个数的和应该是偶数。若乘法算式是248,则剩下的六个数1,3,5,6,7,9的和是奇数,不合题意;若乘法算式是236,则剩下的六个数1,4,5,7,8,9可分为两组:459,8-71(或8-17);178,954(或945)。所以答案为例3 下面的算式是由19九个数字组成的,其中“7”已填好,请将其余各
3、数填入,使得等式成立:=-=-7。分析与解:因为左端除法式子的商必大于等于2,所以右端被减数只能填9,由此知左端被除数的百位数只能填1,故中间减式有8-6,6-4,5-3和4-2四种可能。经逐一验证,8-6,6-4和4-2均无解,只有当中间减式为5-3时有如下两组解:12864=5-3=9-7,或 164825-39-7。例4 将19九个数字分别填入下面四个算式的九个中,使得四个等式都成立:+=6, =8,-=6, =8。分析与解:因为每个中要填不同的数字,对于加式只有两种填法:15或24;对于乘式也只有两种填法:18或24。加式与乘式的数字不能相同,搭配后只有两种可能:(1)加式为15,乘式
4、为24;(2)加式为2+4,乘式为18。对于(1),还剩3,6,7,8,9五个数字未填,减式只能是9-3,此时除式无法满足;对于(2),还剩3,5,6,7,9五个数字未填,减式只能是9-3,此时除式可填567。答案如下:246, 188,936, 5678。例2例4都是对题目经过初步分析后,将满足题目条件的所有可能情况全部列举出来,再逐一试算,决定取舍。这种方法叫做枚举法,也叫穷举法或列举法,它适用于只有几种可能情况的题目,如果可能的情况很多,那么就不宜用枚举法。例5 从19这九个自然数中选出八个填入下式的八个内,使得算式的结果尽可能大:(+)-+-。分析与解:为使算式的结果尽可能大,应当使前一个中括号内的结果尽量大,后一个中括号内的结果尽量小。为叙述方便,将原式改写为:AB(CD)-EFGH。通过分析,A,C,D,H应尽可能大,且A应最大,C,D次之,H再次之;B,E,F,G应尽可能小,且B应最小,E,F次之,G再次之。于是得到A=9,C=8,D=7,H=6,B=1,E=2,F=3,G=4,其中C与D,E与F的值可互换。将它们代入算式,得到91(87)2346=131。