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1、让探究学习在数学课堂中“生根”“发芽” 课例任意角的三角函数1.课例背景探究学习是新课程倡导的学习方式之一，在数学课堂上推行探究学习，是实施新课程的必然要求，有利于调动学生的学习积极性，更大限度地促进个体认知发展。但在具体的课堂实施过程中，常常出现蜻蜓点水式的探究，没有留给学生充分的考虑、探索的时间，学生在一堂课结束后仍然不能消除疑问。任意角的三角函数是人教A版必修4 1.2第一课时的教学内容，初中学生已经学过锐角三角函数，如何引导学生把这个定义推广到任意角？过去习惯用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法有利于引导学生从已有认知基础出发学习三角函数，但“从角的集合到比值的集合”的对
2、应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解。而利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数，这个定义清楚地表明了三角函数从自变量到函数值之间的对应关系。两种不同的定义方法是否有冲突？如何让学生轻松地了解到两种定义的特点，理解人教版采用单位圆的良苦用心？针对以上问题，笔者进行实践与反思，在课堂中采用有效探究，不断重视探究的理念，注重探究的形式，让探究学习在数学课堂中“生根”、“发芽”。2、教学设计2.1教学目标知识与技能：了解任意角三角函数定义的背景和应用；掌握任意角三角
3、函数的的定义；过程与方法：通过参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，体会函数模型思想，数形结合思想；培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力。情感态度与价值观：在学习中开阔视野，感受着数学文化的熏陶；感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性；体会数学的本质，培养追求真理的精神。2.2教学重难点重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义；难点：任意角的三角函数概念的建构过程；2.3教学方法及教学手段教学方法：运用探究学习，引导学生独立思考，发现问题，增强探究意识。教学手段：利用多媒体辅助教学，增强教学的直观和生动。2.4教学设计【情境导入】摩天轮的中心离地面的高度为h0，它的半径
4、为r，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒（一秒转了多少度？），若现在你坐在座舱中，从初始位置点A出发，你能求出相对于地面的高度h与时间t的函数解析式吗？问题1：初中锐角三角函数怎么定义呢？问题2：能不能用终边上的点P的坐标来表示？问题3：点P能否取在终边上的其它位置？为什么？问题4：点P在哪个位置，比值会更简洁？定义：在直角坐标系中以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。问题5：当把P点取在角a的终边与单位圆的交点时，锐角三角函数就可以用单位圆上的坐标直接表示。【形成概念】任意角的三角函数的定义设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:（1）叫做的正弦,记做,即；（2）叫做的余弦
5、,记做,即；（3）叫做的正切,记做,即【例题分析】例1. 求的正弦、余弦和正切值.例2. 已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.【课堂反馈】三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限【课堂小结】由学生谈谈对任意角的三角函数定义的认识。体会教科书采用单位圆定义法与一般函数概念从“数集到数集”的统一之处。【课后作业】教科书P20习题1.2A组1，23.课例实录【创设情境】师：同学们，先来看一组图片。你们有没有体验过游乐场的摩天轮呢？学生被图片所吸引，表现出好奇的神色，私下里相互问“你玩过吗 ？”“没有啊，一定很刺激！”当老师用期待的眼神看着他们时，课堂一片沉默。（显然，农村的学生玩过摩天轮的人
6、数比较少，教师没有充分的考虑到这一点）师：没玩过也没关系，让我们想象一下整个运动过程，当你处在坐舱中，相对地面的高度怎样变化呢？（教师意识到这一点，马上换一种提问的方式）生：有上升有下降，循环往复，周而复始。 师：我们把实物抽象成简单的模型，如图，相当于质点A在圆周上做旋转运动，而每转过一周，又重复运动，我们称为周期运动。（学生这时才进入状态，刚才的躁动平静了下来）评：引例的选择不够贴近学生的实际生活，摩天轮是大城市游乐场的设施，农村的孩子到市区的机会较少，没有体验过很难“兴奋”起来，比教师预期的效果会差一些师：我们做如下的假设：摩天轮的中心离地面的高度为h0，它的半径为r，逆时针方向匀速转动
7、，转动一周需要360秒（一秒转了多少度？），若现在你坐在座舱中，从初始位置点A出发，你能求出相对于地面的高度h与时间t的函数解析式吗？（教师知道这个实际问题的解决有一定难度，给学生充分的考虑时间。）布置好讨论内容后，教师走下讲台。参与到学生的讨论中去。他看到一个组的学生在看书没有讨论，俯身说：“你们要讨论一下，想想已学过的函数有没有这种性质，应该用怎样一个函数模型来刻画？”四个学生马上讨论了起来。教师又走到另外一个组，参与到组内讨论，并鼓励说：“你们组讨论的很不错，等下谈谈你们的看法。”教师在学生讨论的时候，走遍了整个教室。不时地参与了简单的讨论，有时也做了些讲解和鼓励。评：课堂探究既有学生的
8、讨论，也有师生的共同商讨。一、老师的参与讨论，很好地体现了课堂管理者和参与着的角色。二、教师的点评，强化了探究学习师生共同体意识。大约四分钟后，在学生热烈的声音平静下来后，教师开始请学生回答问题。生1：从点A运动到某时刻点P时，人相对于地面的高度。其中表示点P到水平位置OA的距离。（生1刚要坐下，另一个小组的生2马上有反对意见）生2：这个式子需要修改，应该是。（显然其他同学也赞同生2的见解，但其他组也有自己的想法）生3：题目的要求是：求相对于地面的高度h与时间t的函数解析式，前两组的同学的结论还不够完全，他们都没出现自变量t。生1：是一个变量，随着时间t变化，点P的位置在变化，角度POA在变化
9、，进而的值在变化。生3：我们组采用了代特殊值法，比如当，师：老师综合两种意见，同学们的想法是利用初中锐角三角函数：，那么当t超过90，就变成了钝角，当t超过180，360等等，就是任意角的范畴了，能否做这样的猜想：一般的，过了t秒之后，这个式子合理吗？（这个问题一下子引起了学生认知冲突，学习的兴趣调动起来，教师深知此时再放手让学生去探究，效果可能不佳，这里有必要加入教师的提示与引导）评：这一环节，教师充分考虑到学生的认知情况，调动学生的积极性，让集体的智慧为课堂注入动力，生生之间的互评，可以发现问题，从而改进不足，教师最后做关键性的点评，使得探究的进程推进了一大步【探求新知】师：这个猜想形式简
10、洁，老师也不愿意舍弃，要做到合情又合理，我们与比较，要想两者和谐统一，必须有：即，这个式子何时取正值，何时取负值？（教师从刚才的学生探究中找到信心，再次提出问题，继续深入讨论。）生4：我用计算器验证下，把放在坐标系内，当角是第一、二象限时，它的正弦值是正的，当角是第三、四象限时，它的正弦值是负的。师：这个结论是正确的，如果用题目中的r来表示，参照生4的发现，用怎样的一个量来代替，可以使上面的表述更简洁？（此时，学生在教师这个提示下，似乎有了灵感，大家再次讨论起来）生5：在直角坐标系下，点P的纵坐标y刚好可以反映或者评：这一环节教师起主导性作用，随着探究的深入，学生遇到的困难会加大，教师恰时恰当
11、地给予帮助和指导，通过师生的互动，让学生的探究结果得到很大的提炼，合情合理地解决学生在探究中产生的疑惑。【形成概念】任意角的终边上一点，点P到原点O的距离=r，则任意角的正弦函数： 。师：当角是锐角，这样规定与初中定义有矛盾吗 ？（学生都觉得不会有矛盾）那么你能从锐角的余弦函数和正切函数也推广到任意角的情况，得出 吗？（学生也能很快从锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数类比到任意角的余弦函数和正切函数中来，也相应找到坐标的比值来刻画）师: 这个比值会不会随着点P在的终边上位置的改变而改变？r取多少时，会使得比值更加简洁？通过这样的探究，师生共同归纳出利用单位圆定义任意角的三角函数的定义设是一个
12、任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:（1）叫做的正弦,记做,即；（2）叫做的余弦,记做,即；（3）叫做的正切,记做,即师：这正是我们教科书上的定义方式，请同学们阅读教材。教师小结：三角函数的以上两种方式是等价的，都是表示点P的纵坐标与r 的比值。只是在单位圆的背景下， r1，从形式上看更简洁。我们教科书上就选用了单位圆背景下的定义方式。评：探究的最终目的是为了解决问题，通过一系列的探索，学生从初中所掌握的锐角三角函数推广到任意角的三角函数，知识得到了延伸，初高中的知识也得到紧密的衔接，自然过渡，完美定义【例题分析】例1.求的正弦、余弦和正切值.例2已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.
13、评：有了前面如此深入的探究，包括图示，学生理解了用坐标比值来解决三角函数问题，这两个例题也就不会成为绊脚石。【课堂反馈】师：请同学们尽可能多的写出任意角的三角函数值，四大组比一比，课代表做记录。三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限这个环节上，教师鼓励学生尽可能多地写出三角函数值，而学生跃跃欲试，当第一象限的特殊角的三种三角函数全写出来后，聪明的学生就可以根据符号的特点以及对称的性质口述出其他象限内很多相关的角的三角函数值，已经把下一节有关三角函数的符号问题也理解了。评：此时已经临近下课，但学生合作的热情还很高，当学生在一节课中有感悟，有收获，尤其还找到小技巧，他就会全身心地投入到反馈演练中
14、，能以此来证明自己和体验快乐【课堂小结】师：等会儿就下课了，你走出教室，有人问你：“过去你就知道了锐角三角函数，今天又学习了任意角的三角函数，它们的差别在哪里呢？”你怎么回答他？（学生各抒己见，表达了自己对任意角三角函数的新认识）评：教师以这样的形式把小结的任务交给学生，给学生表达感受的机会，据课堂的反应可以看出学生有话可说，说的也头头是道，明确地回答新旧知识之间的联系与区别，轻松收尾，又完整结束。是一个不错的小结方式。【课后作业】教科书P20习题1.2A组1，24.课例点评本节课第一个亮点：充分利用问题情境进行探究，反映概念的本质，如果简单的从复习锐角三角函数出发，直接推广到任意角三角函数，
15、虽然有利于学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但对学生理解数学是不利的，学生对于结论会产生以下的疑惑：（1）为什么要学习了任意角后就要研究任意角三角函数？（2）任意角三角函数定义为什么要引入坐标系？（3）正弦为什么规定用y比r，而不是y的绝对值比r？而本节课特别设置了摩天轮，以数学实际应用为线索，由学生在实际需要中完成任意角的三角函数概念的建构过程。通过这个探究学习，体会数学模型的思想、数形结合思想。第二个亮点：教师成功地运用探究学习，表现如下：（1）教师注重探究的必要性，在需要的时候留足时间给学生讨论和交流，在交流中摒弃错误，较快的找准正确方向。在不需要的时候就不作无谓的探究，充分地考虑课堂的实效性。（2）教师注重探究的形式，利用生生互动，以及师生互动，学生交流比较充分，讨论氛围较好，思维活跃。（3）探究的力度能视学生情况而定，比如在概念形成和例题分析后，教师采用小组比赛的活动环节，学生此
