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1、正弦定理教案华中师范大学数学与统计学学院王罗成（2008211976）邮箱：wlc_一、教学内容分析：本节课是人教版高中新课标数学A版必修（五）的第一章解三角形第一节正弦定理和余弦定理的第一课时，它既是初中解直角三角形在高中知识下的直接延拓，也是对高中坐标和圆等相关知识的综合运用，是生产和生活中解决实际问题的重要工具。正弦定理给出了任意三角形边角的一个等量关系，它与后面即将要讲授的另一个边角关系余弦定理都是解三角形的重要工具。本节课的主要内容是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用，在课型上属于“定理教学课”。学生在教师的引导下发现并证明正弦定理，不仅能复习巩固旧知识，掌握新的有用的知识，而其还
2、能够体会数学知识之间的相互联系，开阔自己的思路，锻炼自己的数学思维能力。学生通过对定理证明的探究和讨论，体验到数学理论发现和发展的过程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。二、学情分析：对于高中的学生，一方面已经学习了平面几何、解直角三角形等知识，另一方面也具备了一定的观察分析和解决问题的能力；但是学生往往会在对新知识的理解应用以及与已学知识的联系上出现思维障碍，思维灵活性、深刻性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，注意前后知识间的联系，引导学生直接参与分析问题、解决问题。三、设计思想： 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要方面，也是高中新课程
3、改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？这就要求在教学过程中以学生为主体，充分的发挥学生的主观能动性，也就是使学生在教师的指导下，自主进行思考和探究活动。建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不仅是通过教师传授得到的，更重要的是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。四、教学目标：1、在创设日常生活的问题情境中，让
4、学生从已有的几何知识和处理几何图形的常用方法出发，由简单到复杂，步步推进，探索和证明正弦定理。2、能运用正弦定理解决三角形的两类基本问题，并初步认识用正弦定理解三角形时，会有一解、两解、无解三种情况。3、认识数学知识之间的相互联系，体会数学知识的不断探索和发展的过程，同时培养学生严谨的数学思维。4、通过对实际问题的探索，培养学生的数学应用意识，激发学生学习的兴趣，让学生感受到数学知识既来源于生活，又服务与生活。五、教学重点与难点：1、 教学重点：正弦定理的探索与证明；正弦定理的基本应用。2、 教学难点：正弦定理的探索与证明。3、 重难点突破方法：抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的
5、知识特点入手，教师在学生主体下给于适当的提示和指导。利用动态几何进行直观的演示，加深学生对重难点的直观认识。六、教学方式：以学生为中心，以教师为主导，启发式教学。运用定理情景引入布置作业小结归纳解读定理七、教学流程设计：探究证明探究一探究二八、教学过程：1、创立情景，导入新课教师：我们在学习生活中经常遇到这样的问题，自己刚买的新的三角板没有用到几天就成了这个样子（展示PPT），那么我们有没有办法再确定折断的这个角的顶点在哪里呢？学生：可以延长两条直角边就可以求出另一个顶点。教师：很好，但是假如我们在日常生活中遇到这样一个问题，有一段工地，这里我们有以下已知条件，米，C在一个湖的湖心，同学们能不
6、能帮工人师傅找到C点呢？学生1：可以，用正弦就可以找到！教师：很好！这位同学想到了用正弦的定义就可以很方便的解决这个问题。同学们可以再自己在草稿纸上试一试。教师：同学们发现什么问题了吗？学生：发现了多种解法！教师：很好！我们分析发现，只需要求出AC或者BC的长度即可！教师板书：设丢掉的那个顶点为C，我们发现我们可以用，和分别求出a和b的长度，进而都可以确定C点的位置。过程如下：，。2、逻辑推理，探究证明教师：同学们已经顺利的帮工人师傅找到了湖中的C点，那么我们继续来探究我们这节课的内容。我们认真的比较上面我们列出的两个等式，我们将这两个等式相除，我们会发现什么？学生：老师：我们看这个等式，b比
7、上它所对角的正弦值=c比上它所对角的正弦值，而三角形中有三条边和三个角，你还能猜想出什么？学生：教师：我们可以验证一下这个等式在我们刚才讨论的直角三角形中是否成立？，而我们刚才得到，进而有，也就是说我们刚才猜想的等式在直角三角形中是成立的。那么我们能不能得到在一般三角形中也有这个关系呢？如果这样我们就能帮工人师傅解决更为复杂的问题了。我们先来直观的看一看。（展示动态几何课件）。学生：通过动态几何软件的计算，我们发现直观上对各种三角形都是成立的。教师：那我们能不能从数学严谨的角度给予证明呢？（展示PPT）（教师可以从初中解直角三角形找角与边的关系的角度给学生以适当的引导，使学生意识到需要做与D）
8、学生：过C做与D学生口述，教师板书如下：，得到，同理在中有，教师：通过这个证明我们得到在直角三角形和锐角三角形中这个等式是成立的，那么请同学们下课后自己思考一下，如何来证明这个等式在钝角三角形中同样成立。我们在课堂上暂时不进行讨论。结论：对任意，总有，我们把这条性质称为正弦定理。（这就是今天要讲的内容，把课题写在黑板上）老师：那么我们继续探究，当我们回顾上面直角三角形的例子是会发现，利用直角三角形的一个性质c=2R，R为这个直角三角形外接圆的半径，也就是有下面的等式成立：（R为直角三角形外接圆半径），这个性质是不是只对直角三角形是一个巧合，还是对各种三角形均有这个性质呢？学生：可能会有吧！（这
9、时学生因为有了前面由直角三角形延伸到一般三角形的经验，会给出偏向肯定的答案）教师：当然，这个只是我们的猜想，猜想是要经过严格的证明才能说是正确的，千万不能凭直觉来断言一件事，在日常生活中也同样是这样。那么我们要想证明我们的猜想可以将三角形怎样处理呢？学生：将三角形放在它的外接圆内来考虑。教师：很好，（进行板书，如下）：在中我们由圆的相关性质得到所以有：学生：同理就可以得到教师：所以我们发现我们将三角形放在它的外接圆内不仅可以证明正弦定理而且还可以得到更多的性质，将正弦定理向前发展了一步。教师：我们将三角形放在其外接圆内得到了正弦定理的一种很漂亮的证明方法，让我们进一步思考，我们同样可不可以借助
10、其他的工具同样来证明正弦定理呢？我给出一个提示，我们将三角形放在坐标系中来观察，同学们可以下课后自己经行相关的讨论探究。3、解读定理，加深理解正弦定理：教师提问：这个定理在结构上有何特征？学生：各边与其对角的正弦严格对应，体现了数学的对称美. 教师：哪位同学能用文字语言叙述正弦定理学生：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等教师：学习了正弦定理，那它有什么用呢？让我们先来了解一下“解三角形”的概念 ：一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做“解三角形”。正弦定理是解三角形的工具之一。教师：正弦定理：可以写成几个
11、等式？学生：三个：教师：如果用方程的观点，需要知道几个量，才能求出其他量？学生：知道三个。教师：三个方程，每个含有四个量，知其三求其一。那么正弦定理可以解决：已知两角和一边，求另外一边的问题。（一边是任意的）正弦定理还可以解决什么问题？学生：已知两边和一角的问题。教师：是不是任意一个角？（学生思考，可以给予适当的提示）学生：只能是两边和其中一边的对角的问题。4、求解例题，巩固定理例.在ABC中，已知A=30，c=8,a=5,求C、B和b(结果保留两位小数)由正弦定理得或（注意：考虑不周，遗漏钝角）当时，当时，.给出适当的分析（动态几何演示）变式1.若将例题中的条件c=8改为c=3,求C、B和b
12、(结果保留两位小数).由正弦定理得或(舍) （注意：舍的方法），变式2.若将例题中的条件c=8改为c=11, 求C、B和b？由正弦定理得，所以这样的三角形不存在. 教师：通过以上几题的研究，你体会到了什么？归纳正弦定理可以解决的两类三角形的解的情况。5、归纳小结，提高升华（学生尝试）1、正弦定理，它是解三角形的工具之一。2、正弦定理可以解决以下两种类型的三角形： （1）已知两角及任意一边；（2）已知两边及其中一边的对角.九、板书设计：课题：正弦定理 正 弦 定 理 及 其 推 导 PPT十、教学设计说明：本设计通过学生在学习生活过程中经常遇到的一个问题展开，通过对简单情景的不断改进，引导学生观
13、察三角形的边角关系式，并由此猜想出正弦定理的表达形式，利用动态几何软件进行直观的观察，然后引导学生给出证明，思路自然，是学生们易于接受的一种讲解方法。 正弦定理的证明方法有很多，如利用三角形的面积公式、三角形的外接圆、坐标法等。但是综合各种方法，用三角形外接圆的证明方法不仅可以简单的得出基本的正弦定理的表达形式，而且还可以得出比值等于外接圆的直径的这个性质。这种证明方法也充分的体现了数学知识的相关性，使学生体会到了数学知识的探究和发展的过程。本节课采用探究式课堂教学模式，即在教师的启发引导下，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供表达、质疑、探究问题的机会，让学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力。一点感悟：新课标下的课堂是学生和教师共同成长的舞台！
