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1、 第十五讲平面向量的数量积基础梳理1两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图)，作a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角，当0时，a与b同向；当180时，a与b反向；如果a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab.2两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.3向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的数量积4向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角则(
2、1)eaae|a|cos ；(2)abab0；(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|，特别的，aa|a|2或者|a|；(4)cos ；(5)|ab|a|b|.5向量数量积的运算律(1)abba；(2)ab(ab)a(b)；(3)(ab)cacbc.6平面向量数量积的坐标运算设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a与b的夹角为，则(1)abx1x2y1y2；(2)|a|；(3)cosa，b；(4)abab0x1x2y1y20.7若A(x1，y1)，B(x2，y2)，a，则|a|(平面内两点间的距离公式)一个条件两个向量垂直的充要条件：abx1x2y1y20.
3、两个探究(1)若ab0，能否说明a和b的夹角为锐角？(2)若ab0，能否说明a和b的夹角为钝角？三个防范(1)若a，b，c是实数，则abacbc(a0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足abac(a0)，则不一定有bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量(2)数量积运算不适合结合律，即(ab)ca(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(ab)c与a(bc)不一定相等(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，与的夹角应为120，而不是60.双基自测1已知|a|3，|b|2，若a
4、b3，则a与b的夹角为 2若a，b，c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是 A(ab)ca(bc) B(ab)cacbcCm(ab)mamb D(ab)ca(bc)3若向量a，b，c满足ab，且ac，则c(a2b) 4已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，则实数x等于 5已知|a|b|2，(a2b)(ab)2，则a与b的夹角为_考向一求两平面向量的数量积【例1】在ABC中，M是BC的中点，|1，2，则()_. 当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基
5、本定理、以及解三角形等知识【训练1】 如图，在菱形ABCD中，若AC4，则_.考向二利用平面向量数量积求夹角与模【例2】已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|和|ab|. 在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|要引起足够重视，是求距离常用的公式【训练2】 已知a与b是两个非零向量，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角考向三平面向量的数量积与垂直问题【例3】已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)(xR)(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程
6、求出其中的参数值在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算【训练3】 已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，(2，m)，(n,1)，(5，1)，且，求实数m，n的值考向四 解决平面向量与解三角形的综合问题【例4】ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos A.(1)求；(2)若cb1，求a的值 三角形的三边可与三个向量对应，这样就可以利用向量的知识来解三角形了，解决此类问题要注意内角与向量的夹角之间的联系与区别，还要注意向量的数量
7、积与三角形面积公式之间关系的应用【试一试】 已知ABC的面积S满足S3，且6，设与的夹角为.(1)求的取值范围；(2)求函数f()sin22sin cos 3cos2的最小值基础检测1若e1，e2是两个单位向量，ae12e2，b5e14e2，且ab，则e1，e2的夹角为_2在ABC中，若AB1，AC，|，则_.3在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量(2,2)，(4,1)，在x轴上取一点P，使有最小值，则P点的坐标是_4在直角三角形ABC中，C，AC3，取点D使2，那么_.5已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.6已知向量a(2，1)，b(x，2)，c(3，y)，若
8、ab，(ab)(bc)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为_7已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_8已知向量a(cos ，cos(10)，b(sin(10)，sin )，R.(1)求|a|2|b|2的值；(2)若ab，求；(3)若，求证：ab.9已知ABC为锐角三角形，向量m(3cos2A，sin A)，n(1，sin A)，且mn.(1)求A的大小；(2)当pm，qn(p0，q0)，且满足pq6时，求ABC面积的最大值第15讲平面向量的数量积【2015年高考会这样考】1考查平面向量数量积的运算2考查利用数量积求平面向量的夹角、模3考查利用数量积判断两向量的垂直
9、关系【复习指导】本讲复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系基础梳理1两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图)，作a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角，当0时，a与b同向；当180时，a与b反向；如果a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab.2两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.3向量数量积的几何意义数量积ab
10、等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的数量积4向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角则(1)eaae|a|cos ；(2)abab0；(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|，特别的，aa|a|2或者|a|；(4)cos ；(5)|ab|a|b|.5向量数量积的运算律(1)abba；(2)ab(ab)a(b)；(3)(ab)cacbc.6平面向量数量积的坐标运算设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a与b的夹角为，则(1)abx1x2y1y2；(2)|a|；(3)cosa，b；(4)abab0x1x2y1
11、y20.7若A(x1，y1)，B(x2，y2)，a，则|a|(平面内两点间的距离公式)一个条件两个向量垂直的充要条件：abx1x2y1y20.两个探究(1)若ab0，能否说明a和b的夹角为锐角？(2)若ab0，能否说明a和b的夹角为钝角？三个防范(1)若a，b，c是实数，则abacbc(a0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足abac(a0)，则不一定有bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量(2)数量积运算不适合结合律，即(ab)ca(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(ab)c
12、与a(bc)不一定相等(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，与的夹角应为120，而不是60.双基自测1(人教A版教材习题改编)已知|a|3，|b|2，若ab3，则a与b的夹角为()解析设a与b的夹角为，则cos .又0，.2若a，b，c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是()A(ab)ca(bc) B(ab)cacbcCm(ab)mamb D(ab)ca(bc)3(2011广东)若向量a，b，c满足ab，且ac，则c(a2b)()解析由ab及ac，得bc，则c(a2b)ca2cb0.4已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，则实数x等于()解析ab(1x,4)由a(ab)，得1x80.x9.5(2011江西)已知|a|b|2，(a2b)(ab)2，则a与b的夹角为_解析由|a|b|2，(a2b)(ab)2，得ab2，cosa，b，又a，b0，所以a，b.考向一求两平面向量的数量积【例1】(2011合肥模拟)在ABC中，
