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1、 第十五讲平面向量的数量积基础梳理1两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图),作a,b,则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角,当0时,a与b同向;当180时,a与b反向;如果a与b的夹角是90,我们说a与b垂直,记作ab.2两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab|a|b|cos ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0a0.3向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的数量积4向量数量积的性质设a、b都是非零向量,e是单位向量,为a与b(或e)的夹角则(
2、1)eaae|a|cos ;(2)abab0;(3)当a与b同向时,ab|a|b|;当a与b反向时,ab|a|b|,特别的,aa|a|2或者|a|;(4)cos ;(5)|ab|a|b|.5向量数量积的运算律(1)abba;(2)ab(ab)a(b);(3)(ab)cacbc.6平面向量数量积的坐标运算设向量a(x1,y1),b(x2,y2),向量a与b的夹角为,则(1)abx1x2y1y2;(2)|a|;(3)cosa,b;(4)abab0x1x2y1y20.7若A(x1,y1),B(x2,y2),a,则|a|(平面内两点间的距离公式)一个条件两个向量垂直的充要条件:abx1x2y1y20.
3、两个探究(1)若ab0,能否说明a和b的夹角为锐角?(2)若ab0,能否说明a和b的夹角为钝角?三个防范(1)若a,b,c是实数,则abacbc(a0);但对于向量就没有这样的性质,即若向量a,b,c若满足abac(a0),则不一定有bc,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同时乘以一个向量(2)数量积运算不适合结合律,即(ab)ca(bc),这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量,a(bc)表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,因此(ab)c与a(bc)不一定相等(3)向量夹角的概念要领会,比如正三角形ABC中,与的夹角应为120,而不是60.双基自测1已知|a|3,|b|2,若a
4、b3,则a与b的夹角为 2若a,b,c为任意向量,mR,则下列等式不一定成立的是 A(ab)ca(bc) B(ab)cacbcCm(ab)mamb D(ab)ca(bc)3若向量a,b,c满足ab,且ac,则c(a2b) 4已知向量a(1,2),向量b(x,2),且a(ab),则实数x等于 5已知|a|b|2,(a2b)(ab)2,则a与b的夹角为_考向一求两平面向量的数量积【例1】在ABC中,M是BC的中点,|1,2,则()_. 当向量表示平面图形中的一些有向线段时,要根据向量加减法运算的几何法则进行转化,把题目中未知的向量用已知的向量表示出来,在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基
5、本定理、以及解三角形等知识【训练1】 如图,在菱形ABCD中,若AC4,则_.考向二利用平面向量数量积求夹角与模【例2】已知|a|4,|b|3,(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角;(2)求|ab|和|ab|. 在数量积的基本运算中,经常用到数量积的定义、模、夹角等公式,尤其对|a|要引起足够重视,是求距离常用的公式【训练2】 已知a与b是两个非零向量,且|a|b|ab|,求a与ab的夹角考向三平面向量的数量积与垂直问题【例3】已知平面向量a(1,x),b(2x3,x)(xR)(1)若ab,求x的值;(2)若ab,求|ab|. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程,通过解方程
6、求出其中的参数值在计算数量积时要注意方法的选择:一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来,再计算数量积;另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算,把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算【训练3】 已知平面内A,B,C三点在同一条直线上,(2,m),(n,1),(5,1),且,求实数m,n的值考向四 解决平面向量与解三角形的综合问题【例4】ABC的面积是30,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,cos A.(1)求;(2)若cb1,求a的值 三角形的三边可与三个向量对应,这样就可以利用向量的知识来解三角形了,解决此类问题要注意内角与向量的夹角之间的联系与区别,还要注意向量的数量
7、积与三角形面积公式之间关系的应用【试一试】 已知ABC的面积S满足S3,且6,设与的夹角为.(1)求的取值范围;(2)求函数f()sin22sin cos 3cos2的最小值基础检测1若e1,e2是两个单位向量,ae12e2,b5e14e2,且ab,则e1,e2的夹角为_2在ABC中,若AB1,AC,|,则_.3在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量(2,2),(4,1),在x轴上取一点P,使有最小值,则P点的坐标是_4在直角三角形ABC中,C,AC3,取点D使2,那么_.5已知向量a,b夹角为45,且|a|1,|2ab|,则|b|_.6已知向量a(2,1),b(x,2),c(3,y),若
8、ab,(ab)(bc),M(x,y),N(y,x),则向量的模为_7已知向量与的夹角为120,且|3,|2.若,且,则实数的值为_8已知向量a(cos ,cos(10),b(sin(10),sin ),R.(1)求|a|2|b|2的值;(2)若ab,求;(3)若,求证:ab.9已知ABC为锐角三角形,向量m(3cos2A,sin A),n(1,sin A),且mn.(1)求A的大小;(2)当pm,qn(p0,q0),且满足pq6时,求ABC面积的最大值第15讲平面向量的数量积【2015年高考会这样考】1考查平面向量数量积的运算2考查利用数量积求平面向量的夹角、模3考查利用数量积判断两向量的垂直
9、关系【复习指导】本讲复习时,应紧扣平面向量数量积的定义,理解其运算法则和性质,重点解决平面向量的数量积的有关运算,利用数量积求解平面向量的夹角、模,以及两向量的垂直关系基础梳理1两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图),作a,b,则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角,当0时,a与b同向;当180时,a与b反向;如果a与b的夹角是90,我们说a与b垂直,记作ab.2两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab|a|b|cos ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0a0.3向量数量积的几何意义数量积ab
10、等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的数量积4向量数量积的性质设a、b都是非零向量,e是单位向量,为a与b(或e)的夹角则(1)eaae|a|cos ;(2)abab0;(3)当a与b同向时,ab|a|b|;当a与b反向时,ab|a|b|,特别的,aa|a|2或者|a|;(4)cos ;(5)|ab|a|b|.5向量数量积的运算律(1)abba;(2)ab(ab)a(b);(3)(ab)cacbc.6平面向量数量积的坐标运算设向量a(x1,y1),b(x2,y2),向量a与b的夹角为,则(1)abx1x2y1y2;(2)|a|;(3)cosa,b;(4)abab0x1x2y1
11、y20.7若A(x1,y1),B(x2,y2),a,则|a|(平面内两点间的距离公式)一个条件两个向量垂直的充要条件:abx1x2y1y20.两个探究(1)若ab0,能否说明a和b的夹角为锐角?(2)若ab0,能否说明a和b的夹角为钝角?三个防范(1)若a,b,c是实数,则abacbc(a0);但对于向量就没有这样的性质,即若向量a,b,c若满足abac(a0),则不一定有bc,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同时乘以一个向量(2)数量积运算不适合结合律,即(ab)ca(bc),这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量,a(bc)表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,因此(ab)c
12、与a(bc)不一定相等(3)向量夹角的概念要领会,比如正三角形ABC中,与的夹角应为120,而不是60.双基自测1(人教A版教材习题改编)已知|a|3,|b|2,若ab3,则a与b的夹角为()解析设a与b的夹角为,则cos .又0,.2若a,b,c为任意向量,mR,则下列等式不一定成立的是()A(ab)ca(bc) B(ab)cacbcCm(ab)mamb D(ab)ca(bc)3(2011广东)若向量a,b,c满足ab,且ac,则c(a2b)()解析由ab及ac,得bc,则c(a2b)ca2cb0.4已知向量a(1,2),向量b(x,2),且a(ab),则实数x等于()解析ab(1x,4)由a(ab),得1x80.x9.5(2011江西)已知|a|b|2,(a2b)(ab)2,则a与b的夹角为_解析由|a|b|2,(a2b)(ab)2,得ab2,cosa,b,又a,b0,所以a,b.考向一求两平面向量的数量积【例1】(2011合肥模拟)在ABC中,