《05第二章恒等式微麦程与本构》由会员分享，可在线阅读，更多相关《05第二章恒等式微麦程与本构（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、上节内容回顾散度和旋度问题1:已知 A = r 求 VEL4 = ?VUA = - (r-Ar) = 0r or半径为厂的球面JAdvA rk 2/r= J J 7& = 0 0 = 0r2 sin &dOdcp = 4”n 7 A = 4 兀 6 (厂)上节内容回顾散度和旋度半径为Q的圆问题2：已知久=丄石求7x = ?AAIJ(VxA)ds=f4d/ =也一e - e vpd (pdl = 2 兀 s/i Pzz V x A = 27u8 (p)本节内容：梯度.散度与旋度的混合运算已学习的内容问题运算符 号对 象结 果可能的 混合运算=9梯度V u标 量矢 量V V nV X V H散 度
2、V A矢 量标 量V（V.A）旋度Vx A矢 量矢 量 x AV x V x A1恒等式 I ： V X Vw = 0任何标量场的梯度的旋度为零。条件：U.U 处处存在。恒等式I的证明利用斯托克斯公式：jj u=（S利用梯度性质:1恒等式I恒等式I的证明任一s： Jvx(vw)力=0S结果:梯无旋结论:1.恒等式I逆定理：如果： X E = 0贝 U: E = -V (p这里的负号不影响结论2.恒等式II恒等式H:V(V X A)= 0任何矢量场的旋度的散度为零。2 恒等式U恒等式II的证明利用高斯散度定理：J也2沪工V$ J V ( x Adr = ( x dsS右手规则J2 7 n 2j
3、( x A-ds = J ( x A ) dE + J ( x ds=A * dl + J A dl = 0任一 V: (xA)dz = O结果:结论: (xA)三 0旋无散2恒等式II逆定理：如果:则: B = V x A拉普拉斯算子1 标性拉普拉辛由来：复合运算“梯度的散度”。 设是u(x9y,z)任意标量函数，贝U：V2W拉普拉斯算子1. 标性拉普拉辛中文表述数学表述哈密顿算符标识符运算符号运算对象拉普拉辛(Jiv(gradti)三 V”= V2?/V2标量如下关系divgradu) = V - Vw = V2w1.标性拉普拉辛一展开式直角坐标下的拉普拉辛展开式:V2沪 护 d2dx2
4、* dy2 * dz21.标性拉普拉辛一展开式柱坐标下:1.标性拉普拉辛一展开式球坐标下_ Q _ Q _ de r + eA+ e & drrdOr sin 0d(pV2(一 a _ b 一I e h eaF edrrd 6r sin Od cp 丿2 a2a2+ r + rr d0 r sin Od p(de d訂+ dO r sin Od p 丿drr sin G )sin &(de d Oj、k dG dr d(p 丿d (d d2sin 0 + d O JBO 丿 B (p-V 2A = graddiv A 一 curlcurlA三（ A）-V x V x A2.矢性拉普拉辛模仿三重
5、矢积构造出如下的矢量恒等式:AxBxC = B（AC） C（AB）o （ Back 一 Cab 法贝 lj ）Vx Vx A = V （広）一広（）=（a）-v2a2.矢性拉普拉辛一展开式:各分量的标性拉普湃匸二匚X/ I 直角坐标下的拉普拉辛展开式:矢性拉普拉辛 各分量V2A = ex ( V 2 A v ) + ev ( V2Av ) 4-( V2Ar )小结:已学习的内容运算符 号对 象结 果可能的 混合运算答案梯度V u标 量矢 量1V V M标量2V X V M梯无旋散 度V A矢 量标 量3(2)矢量中旋度Vx A矢 量矢 量4V V x A旋无散5V X V X A矢量厂2中三、
6、场论亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：空间有限区域。内的任一矢量场，由 它的 散度 念 边界树唯一地确定，并可表示为：一个梯度 场和一个旋度场的壷加。研究矢量场的基本工作：用于公理性的论述贯穿于整个电磁场的学习中。2 一 +边界条件V X A矢量场分布的不同情况：1. 管形的（无散的）和无旋的。広=o - cx A = 0如在无电荷区域中的静电场。矢量场分布的不同情况：2. 管形的和但非无旋的。 A = 0 - cX A 工 0载流导体中的稳定磁场。矢量场分布的不同情况:3. 无旋的但非管形的。q工o I_ x A = 0如在有电荷区域中的静电场。矢量场分布的不同情况:既非管形又非无旋的。q工o- c
7、X A 工 0最普通的形式； 如有电荷区域的时变场。源的种类与场的分解:1.通量源gA = As + A.2旋涡源6広s = x As 0f V - A = OI x & = A . = x B V x A = GI源的种类与场的分解:1. 标量函数的梯度；2. 矢量函数的旋度。広=+ 忑=% + x 万V - A = V - Vw + V x B)= -V2wV x A = X7x( - “ + x6) = x x B、格林恒等式（了解）V Adr =击 A dSVdv令：A = cpV (0V7 0 ) =切 + 0 0(/) + V V(/) - dr(0 2(p +(p - (f - dr诃(0%)dS dV=j(0W)ms dV=舟0比dSJ ( 24-V-V)-Jr = |jj (p dSJ(j) cp cp - dr = J小结恒等式的来由（混合运算的结果）拉普拉辛标性与矢性场论：场的分解习题：2. 8 2. 9 （在直角坐标系下证明）2. 17预习：源量与场量；已学过的电磁学定律
