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1、数学分析第五章一元函数积分学第五章 一元函数积分学一、本章知识脉络框图原函数不定积分 定积分积分和达布和概念部分变限积分无穷限积分瑕积分一元函数积分学计算部分不定积分计算定积分计算积分性质牛顿一莱布尼茨公式理论部分可积条件微积分基本定理反常积分性质与敛散性判别定积分微元法应用部分定积分在几何中的应用定积分在物理中的应用性质二、本章重点及难点一元函数积分学是数学分析中极为重要的内容，是学习多元函数积分学的基础，其中不定积分的计算是基础的第一阶段，定积分的定义同导数一样,是从实际问题中提出来的,定积分定义是分析学中比较难以理解和把握的，可积函数的构造是数学分析中重要的理论问题，也是分析学习中重点和
2、难点之一。在这一章中，不定积分的计算，定积分大小和的定义,振幅的概念，积分不等式，微积分学基本定理，积分中值定理等是应该掌握的内容。它们都是进一步学习多元函数积分学等后继知识的阶梯，掌握一元函数积分学的基本概念和基本理论及方法,还是进一步学习数学的其它学科以及物理学中的力学、光学、电学等内容的基础。本章的重点是：l 不定积分、定积分概念与积分公式；l 积分的换元法与分部积分法的运用；l 积分性质及第一中值定理；l 牛顿一莱布尼茨公式的使用；l 定积分的可积性判别;l 微积分基本定理应用；l 利用定积分的微元法计算某些几何及物理问题;l 反常积分的概念及收敛性判别；本章的难点是：l 有理函数的分
3、解和三角有理式的积分。；l 推广的积分第一中值定理。l 可积性理论；可积函数类的证明。l 反常积分的概念及收敛性判别;三、本章的基本知识要点（一）概念部分1 原函数 设函数与F在区间上都有定义若则称F为在区间上的一个原函数注1：原函数的定义中规定自变量的变化范围必须是一个区间，而不是一般的数集,或几个区间的并集。这是因为原函数概念是与导函数密切相关的,而在一般的数集上往往无法进行求导数，再有，原函数的一个最根本的性质是：“f(x)在一个区间上的任意两个原函数之间只相差一个常数。”而这个性质来源于微分中值定理的一个推论：“若在一个区间上,则在这个区间上。”所以在原函数的定义中作出了“在一个区间上
4、”的规定，而且在此基础上定义的不定积分才是明确无误的,即f(x)在一个区间I上的所有原函数只能是F(x）+C（F（x）是f(x)在I上的任一原函数).注2:函数的任意两个原函数在同一区间必定相差一个常数,不在同一区间就不一定相差一个常数。2.不定积分： 函数在区间上的全体原函数称为在上的不定积分，记作 注1： 原函数与不定积分这两个概念两者是个体与整体的关系，如果F（x)是f(x）在区间I上的一个原函数，那么f(x)在I上的不定积分就是所有原函数的集合，即所以不定积分的最后答案中一定带有任意常数项；检查不定积分的答案是否正确,应该用求导进行验证。这种关系反映在几何意义上就是某一条积分曲线y=F
5、(x）与所有积分曲线族y=F（x）+C的关系。注2：因为不定积分是所有原函数的集合，所以有关不定积分的各种等式都应理解为两个集合的相等。也可理解为被积函数定义域与原函数定义域相同.如，应是.注3：如果一个函数存在间断点，那么此函数在其间断点所在的区间上就不一定存在原函数，当间断点是第一类间断点时,就一定不存在原函数,如果间断点是第二类间断点时，就有可能存在或不存在。所以在求分段函数的不定积分时，一定要注意考虑间断点处的情况.注4：-先积后导正好还原;或 . 先导后积还原后需加上一个常数（不能完全还原）.或 。注5：初等函数的原函数不一定是初等函数.通常所说的“求不定积分”，是指用初等函数的形式
6、把这个不定积分表示出来在这个意义下，并不是任何初等函数的不定积分都能“求出”来的例如 等等，虽然它们都存在，但却无法用初等函数来表示，因此可以说，初等函数的原函数不一定是初等函数即在初等函数的范围内，某些初等函数的原函数是不存在的，即使该函数可积.这类非初等函数可采用定积分形式来表示。 3。 定积分： 设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数若对任给的正数，总存在某一正数,使得对的任何分割，以及在其上任意选取的点集，只要，就有 ，则称函数在区间上可积或黎曼可积；数称为在上的定积分或黎曼积分,记作 其中,称为被积函数,称为积分变量，称为积分区间，分别称为这个定积分的下限和上限注1: 把定积分定义
7、的说法和函数极限的说法相对照，便会发现两者有相似的陈述方式，因此我们也常用极限符号来表达定积分,即把它写作 （）然而,积分和的极限与函数的极限之间其实有着很大的区别：(1)极限号下方的“”一般不能用“”去替代，因为时不能保证，而时必定同时有.（2）与函数极限相比较，后者对于极限变量x的每一值,是唯一确定的；而在（*）式所示的极限式中，对于的每一值，积分和的值却不唯一确定（包括T的不确定性和点集的不确定性）。这使得积分和极限要比普通的函数极限复杂的多，于是在本质上决定了或积性理论的复杂性。(3）极限（*)的存在，必须与分割T的形式无关，与点集的选择也无关；唯一重要的是分割的细度,当足够小时，总能
8、使积分和与某一确定的数J无限接近.（4）根据（3）,如果能构造出两个不同方式的积分和，使它们的极限不相同，那么就可断言该函数在所论区间上是不可积的，例如狄利克雷函数它在0,1上必定不可积，这是因为对任何分割T，在T所属的每个小区间都有有理数与无理数（据实数的稠密性），当取全为有理数时，得当取全为无理数时，得，所以这两种分和的极限不相等，D(x）在0，1上不可积。一般地，函数f在a,b上不可积是指:， 以及，虽然，但（5）反之，如果已知,那么对于每个特殊分割T，以及点集的每种特殊选择，所得的那个积分和当时必以为极限。（6）定积分作为积分和的极限，它的值只与被积函数f和积分区间a,b有关,而与积分
9、变量所用的文字无关，即 （1。5)注2: (定积分的几何意义) 对于上的连续函数，当，时，定积分的几何意义就是该曲边梯形的面积；当时，这时是位于轴下方的曲边梯形面积的相反数，不妨称之为“负面积”；对于一般非定号的而言,定积分的值则是曲线在轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和4。 积分和：设是定义在上的一个函数对于的一个分割,任取点，并作和式 , 称此和式为函数在上的一个积分和，也称黎曼和 注：积分和既与分割丁有关,又与所选取的点集有关5. 达布和：设为对的任一分割由在上有界，它在每个上存在上、下确界： 作和 分别称为关于分割的上和与下和（或称达布上和与达布下和，
10、统称达布和）任给,显然有 （1)注1：达布和只与分割有关，而与所选取的点集无关注2：由不等式（1），就能通过讨论上和与下和当时的极限来揭示在上是否可积所以,可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的6. 变限积分： 设在上可积，则对，在上也可积，于是，由， 定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似地,可定义变下限的定积分：,和统称为变限积分。注：由于 ，因此,只要讨论变上限积分即可。7. 无穷限反常积分： 设函数定义在无穷区间)上，且在任何有限区间上可积如果存在极限 ， (1)则称此极限为函数在）上的无穷限反常积分(简称无穷积分),记作 ， （)并称收敛如果极限（1)不存在
11、，为方便起见，亦称发散 类似地,可定义在（上的无穷积分： 对于在()上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：。 （3）其中为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的 注1: 无穷积分（3）的收敛性与收敛时的值，都和实数的选取无关 注2 ： 由于无穷积分（3)是由(1)、(2)两类无穷积分来定义的，因此，在任何有限区间上,首先必须是可积的 注3 ：收敛的几何意义是：若在上为非负连续函数,则介于曲线，直线以及轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积8. 瑕积分： 设函数定义在区间(上，在点的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间上有界且可积如果存在极限 ，则称此极限为无界函数在(上的反
12、常积分，记作 并称反常积分收敛如果极限不存在，这时也说反常积分 发散 在定义中，被积函数在点近旁是无界的,这时点称为的瑕点，而无界函数反常积分又称为瑕积分 类似地,可定义瑕点为时的瑕积分： 其中在有定义，在点的任一左邻域内无界,但在任何上可积。若的瑕点，则定义瑕积分 其中在上有定义，在点的任一邻域内无界，但在任何和)上都可积当且仅当右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的 又若、两点都是的瑕点，而在任何上可积，这时定义瑕积分其中为（）内任一实数当且仅当该式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的9。 绝对收敛和条件收敛:当收敛时，称为绝对收敛 称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛
13、（二）计算部分 1。 不定积分的换元积分法：设g（)在上有定义,在上可导，且，并记 （i）若在上存在原函数，则在上也存在原函数，即 (ii） 又若则上述命题(i）可逆,即当在上存在原函数F（)时，g()在上也存在原函数G（）,且G()=，即 注1:第一换元积分法俗称“凑微分法”，使用第一换元积分法的关键在于把被积表达式凑成的形式，以便选取变换，化为易于积分的最终不要忘记把新引入的变量还原为起始变量能否熟练使用这种积分方法，是与使用者对各种微分形式是否熟记于心是大有关系的，例如以下这些最基本的结果是经常会遇到的： ，,注2:第二换元积分法的目的同第一换元法一样，也是被积函数化为容易求得原函数的形式,但最终同样不要忘记变量还原。第二换元法有何规律是：一般地，若被积函数中含有或，则可利用三角函数的平方关系化原积分为三角函数的积分；若被积函数中含有，则可令=，将原积分化为有理函数的积分。注3：第一换元法与第二换元法的区别在于置换的变元不同,前者将被积函数中的中间变量作为新的积分变量，而后者将原积分变量替换成函数，以作为新的积分变量。注4：在解题结束时必须检查一下你的结果，看看在运算过程中是否增加(或忽略）了对咱们分变量的限制（这个注意点不只是适
