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1、最全“将军饮马”类问题最全“将军饮马”类问题(种类大全+分类汇编)1.如图,直线l和l的异侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小。2.如图,直线l和l的同侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小。3. 如图,点P是MON内的一点,分别在OM,ON上作点A,B。使PAB的周长最小4. 如图,点P,Q为MON内的两点,分别在OM,ON上作点A,B。使四边形PAQB的周长最小。5. 如图,点A是MON外的一点,在射线OM上作点P,使PA与点P到射线ON的距离之和最小6.如图,点A是MON内的一点,在射线OM上作点P,使PA与点P到射线ON的距离之和最小二、常有题型三角形问题
2、1如图,在等边ABC中,AB=6,ADBC,E是AC上的一点,M是AD上的一点,若AE=2,求EM+EC的最小值解:点C对于直线AD的对称点是点B,连结BE,交AD于点M,则ME+MD最小,过点B作BHAC于点H,则EH=AHAE=32=1,BH=BC2-CH2=62-32=33在直角BHE中,BE=BH2+HE2B=(33)2+12=27AAEEMHMDCBDC2如图,在锐角ABC中,AB=42,BAC45,BAC的均分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是解:作点B对于AD的对称点B,过点B作BEAB于点E,交AD于点F,则线段BE的长就是BM的最小值在等腰
3、RtAEB中,依据勾股定理得到,BE=4CBMFDANEB3如图,ABC中,AB=2,BAC=30,若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN的值最小,则这个最小值解:作AB对于AC的对称线段AB,过点B作BNAB,垂足为N,交AC于点M,则BN=MB+MN=MB+MNBN的长就是MB+MN的最小值则BAN=2BAC=60,AB=AB=2,ANB=90,B=30。AN=1在直角ABN中,依据勾股定理BN=3CMA30N2BBCMA 30N2B正方形问题1如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,丐DM2,N是AC上的一动点,DNMN的最小值为_。即在直线AC上求一点N,使DN+MN最小AD
4、解:故作点D对于AC的对称点B,连结BM,交AC于点N。则DNBN线段的长就是DN的最小值在直角中,则NM故DN的最小值是BC2如下图,正方形ABCD的面积为12,ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PDPE的和最小,则这个最小值为()A23B26C3D6AD解:即在AC上求一点P,使PE+PD的值最小E点D对于直线AC的对称点是点B,连结BE交AC于点P,则BE=PB+PE=PD+PE,BE的长就是PD+PE的最小值BE=AB=23PBC3在边长为2的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连结PB、PQ,则PBQ周长的最小值为_(结
5、果不取近似值).解:在AC上求一点P,使PB+PQ的值最小AD点B对于AC的对称点是D点,连结DQ,与AC的交点P就是知足条件的点DQ=PD+PQ=PB+PQP故DQ的长就是PB+PQ的最小值在直角CDQ中,CQ=1,CD=2依据勾股定理,得,DQ=5BQC4如图,四边形ABCD是正方形,AB=10cm,E为边BC的中点,P为BD上的一个动点,求PC+PE的最小值;解:连结AE,交BD于点P,则AE就是PE+PC的最小值AD在直角ABE中,求得AE的长为55BEC矩形问题1如图,若四边形ABCD是矩形,AB=10cm,BC=20cm,E为边BC上的一个动点,P为BD上的一个动点,求PC+PD的
6、最小值;C解:作点C对于BD的对称点C,过点C,作CBBC,交BD于点P,则CE就是PE+PC的最小值20直角BCD中,CH=AD5直角BCH中,BH=85BCC的面积为:BHCH=160 CEBC=2160则CE=16菱形问题HPBEC1如图,若四边形ABCD是菱形,AB=10cm,ABC=45,E为边BC上的一个动点,P为BD上的一个动点,求PC+PE的最小值;A解:点C对于BD的对称点是点A,过点A作AEBC,交BD于点P,则AE就是PE+PC的最小值P在等腰EAB中,求得AE的长为52BDEC梯形问题1已知直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上秱
7、动,则当PA+PD取最小值时,中边AP上的高为()APDA、2B、4C、8D、3171717171717解:作点A对于BC的对称点A,连结AD,交BC于点P则AD=PA+PD=PA+PDAD的长就是PA+PD的最小值SAPD=4在直角ABP中,AB=4,BP=1根据勾股定理,得AP=1748AP上的高为:217=1717ADBPCA圆的相关问题1已知O的直径CD为4,AOD的度数为60,点B是AD的中点,在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小,并求BP+AP的最小值解:在直线CD上作一点P,使PA+PB的值最小A作点A对于CD的对称点A,连结AB,B交CD于点P,则AB的长就是PA+PB的
8、最小值连结OA,OB,则AOB=90,CDOA=OB=4OP依据勾股定理,AB=42A2如图,MN是半径为1的O的直径,点A在O上,AMN30,B为AN弧的中点,P是直径MN上一动点,则PAPB的最小值为()A22B2C1D2A解:MN上求一点P,使PA+PB的值最小作点A对于MN的对称点A,连结AB,交MN于点P,则点P就是所要作的点AB的长就是PA+PB的最小值连结OA、OB,则OAB是等腰直角三角形BMNOPAB=2A一次函数问题20一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4)(1)求该函数的分析式;(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB
9、上一动点,求PCPD的最小值,并求获得最小值时P点坐标解:(1)由题意得:0=2x+b,4=b解y得k=-2,b=4,y=-2x+4B(2)作点C对于y轴的对称点C,连结CD,交y轴于点P则CD=CP+PD=PC+PDCD就是PC+PD的最小值连结CD,则CD=2,CC=2在直角CCD中,依据勾股定理CD=22求直线CD的分析式,由C(-1,0),D(1,2),有0=-k+b,2=k+b解得k=1,b=1,y=x+1当x=0时,y=1,则P(0,1)DPxCOCA二次函数问题1如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结0A,将线段OA绕原点O顺时针旋转120。,获得线段OB.( 1)
10、求点B的坐标;( 2)求经过A、O、B三点的抛物线的分析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上能否存在点C,使BOC周长最小若存在求出点C坐标;若不存在,请说明原因.解:(1)B(1,3)y(2)y323x+x=33(3) 点O对于对称轴的对称点是点A,则连结AB,交对称轴于点C,则BOC的周长最小C3233y=x2+x,当x=-1时,y=A3333)C(-1,32如图,在直角坐标系中,A,B,C的坐标分别为(-1,0),(3,0),(0,3),过A,B,Cl,D为直线l上的一个动点,(1) 求抛物线的分析式;(2) 求当AD+CD最小时点D的坐标;(3)以点A为圆心,以AD为半径作圆A;解:(1)证明:当AD+CD最小时,直线BD与圆A相切;写出直线BD与圆A相切时,点D的另一个坐标。( 2)连结BC