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1、第2课时定点、定值、范围、最值问题考点一定点问题【例1】 已知椭圆1(a0，b0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均不重合且满足1，2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若123，试证明：直线l过定点并求此定点解(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又a2b2c2，所以a23.所以椭圆的方程为y21.(2)由题意设P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l方程为xt(ym)，由1知(x1，y1m)1(x0x1，y1)，y1my11，由题意y
2、10，11.同理由2知21.123，y1y2m(y1y2)0，联立得(t23)y22mt2yt2m230，由题意知4m2t44(t23)(t2m23)0，且有y1y2，y1y2，将代入得t2m232m2t20，(mt)21.由题意mt0，mt1，满足，得l方程为xty1，过定点(1，0)，即Q为定点规律方法圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关【训练1】 (2019杭州七校联考)已知椭圆C：1(ab0)的两焦点在x轴上，且两
3、焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形(1)求椭圆的方程；(2)过点S的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解(1)椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，bc.又斜边长为2，即2c2，故cb1，a，椭圆方程为y21.(2)当l与x轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2；当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2y21.由得故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q(0，1)下面证明Q(0，1)为所求：若直线l的斜率不存在，上述已经证明若直线l的斜率
4、存在，设直线l：ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(918k2)x212kx160，144k264(918k2)0，x1x2，x1x2，(x1，y11)，(x2，y21)，x1x2(y11)(y21)(1k2)x1x2(x1x2)(1k2)0，即以线段AB为直径的圆恒过点Q(0，1)考点二定值问题【例2】 (2019金丽衢十二校二联)过椭圆C：1(ab0)右焦点F(1，0)的直线与椭圆C交于两点A，B，自A，B向直线x5作垂线，垂足分别为A1，B1，且.(1)求椭圆C的方程；(2)记AFA1，FA1B1，BFB1的面积分别为S1，S2，S3，证明：是定值，并求出该定值(1)解设A
5、(x，y)，则|AA1|5x，|AF|，由得1，而A是椭圆上的任一点，此方程即为椭圆方程(2)证明直线AB的斜率不可以为0，而可以不存在，可设直线AB的方程为xmy1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4m25)y28my160，y1y2，y1y2.(*)由题意，S1|AA1|y1|5x1|y1|，S3|BB1|y2|5x2|y2|，S2|A1B1|42|y1y2|， ，将(*)式代入上述式子，化简并计算可得，所以是定值，且该定值为.规律方法圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到
6、直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得【训练2】 (2019北京卷)已知椭圆C：1，过点A(2，0)，B(0，1)两点(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值(1)解由椭圆过点A(2，0)，B(0，1)知a2，b1.所以椭圆方程为y21，又c.所以椭圆离心率e.(2)证明设P点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，则x4y4，由B点坐标(0，1)得直
7、线PB方程为：y1(x0)，令y0，得xN，从而|AN|2xN2，由A点坐标(2，0)得直线PA方程为y0(x2)，令x0，得yM，从而|BM|1yM1，所以S四边形ABNM|AN|BM|2.即四边形ABNM的面积为定值2.考点三范围问题【例3】 (2019台州调考)如图，已知直线l1：y2xm(m0)与抛物线C1：yax2(a0)和圆C2：x2(y1)25都相切，F是C1的焦点(1)求m与a的值；(2)设A是C1上的一动点，以A为切点作抛物线C1的切线l，直线l交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；(3)在(2)的条件下，记点M所在的定直线为l2，直
8、线l2与y轴的交点为N，连接MF交抛物线C1于P，Q两点，求NPQ的面积S的取值范围(1)解由已知，圆C2：x2(y1)25的圆心为C2(0，1)，半径r.由题设圆心到直线l：y2xm的距离d，解得m6(m4舍去)设l1与抛物线的切点为A0(x0，y0)，又y2ax，得2ax02x0，y0.代入直线方程得：6，a.m6，a.(2)证明由(1)知抛物线C1的方程为yx2，焦点F.设A，由(1)知以A为切点的切线l的方程为yx1(xx1)x.令x0，得切线l与y轴的交点B的坐标为，(x1，3)M的坐标为，点M在定直线y上(3)解由(2)知l2的方程为y，N.设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，直
9、线MF：ykx，将ykx代入yx2得：x2kx0，则xPxQ6k，xPxQ9.SNPQ|NF|xPxQ|39.k0，SNPQ9，即SNPQ的面积S的取值范围为(9，)规律方法解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围【训练3】
10、 (2019天津卷)设椭圆1(a)的右焦点为F，右顶点为A.已知，其中O为原点，e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围解(1)设F(c，0)，由，即，可得a2c23c2.又a2c2b23，所以c21，因此a24.所以椭圆的方程为1.(2)设直线l的斜率为k(k0)，则直线l的方程为yk(x2)设B(xB，yB)，由方程组消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120.解得x2或x.由题意得xB，从而yB.由(1)知F(1，0)，设H(0，y
11、H)，有(1，yH)，.由BFHF，得0，所以0，解得yH.因为直线MH的方程为yx.设M(xM，yM)，由方程组消去y，解得xM.在MAO中，MOAMAO|MA|MO|，即(xM2)2yxy，化简得xM1，即1，解得k或k.所以直线l的斜率的取值范围为或.考点四最值问题【例4】 (2019浙江卷)已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220，将AB中点M代入直线方程ymx解得b由得m
12、或m.(2)令t，则|AB|.且O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)|AB|d .当且仅当t2时，等号成立故AOB面积的最大值为.规律方法处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解【训练4】 已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线
13、段AB长度的最小值解(1)由题意，椭圆C的标准方程为1.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)2(x0)2(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0x4)，当且仅当x4时等号成立，所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为2.基础巩固题组一、选择题1已知椭圆C的方程为1(m0)，如果直线yx与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为()A2 B2 C8 D2解析根据已知条件得c，则点(，)在椭圆1(m0)上，1，可得m2.答案B2设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A. B2，2C1，1 D4，4解析Q(2，0)，设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整
