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1、 数 学M单元推理与证明 M1合情推理与演绎推理16，2014福建卷 已知集合a，b，c0，1，2，且下列三个关系：a2；b2；c0有且只有一个正确，则100a10bc等于_16201解析 (i)若正确，则不正确，由不正确得c0，由正确得a1，所以b2，与不正确矛盾，故不正确(ii)若正确，则不正确，由不正确得a2，与正确矛盾，故不正确(iii)若正确，则不正确，由不正确得a2，由不正确及正确得b0，c1，故正确则100a10bc10021001201.142014全国新课标卷 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市乙说：我没去过C城市丙
2、说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_14A解析 由甲没去过B城市，乙没去过C城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A城市142014陕西卷 已知f(x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN，则f2014(x)的表达式为_14.解析 由题意，得f1(x)f(x)，f2(x)，f3(x)，由此归纳推理可得f2014(x).M2直接证明与间接证明21、2014湖南卷 已知函数f(x)xcos xsin x1(x0)(1)求f(x)的单调区间；(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(iN*)个零点，证
3、明：对一切nN*，有.21解： (1)f(x)cos xxsin xcos xxsin x.令f(x)0，得xk(kN*)当x(2k，(2k1)(kN)时，sin x0，此时f(x)0; 当x(2k1)，(2k2)(kN)时，sin x0.故f(x)的单调递减区间为(2k，(2k1)(kN)，单调递增区间为(2k1)，(2k2)(kN)(2)由(1)知，f(x)在区间(0，)上单调递减又f0，故x1.当nN*时，因为f(n)f(1)nn1(1)n1(n1)10，且函数f(x)的图像是连续不断的，所以f(x)在区间(n，(n1)内至少存在一个零点又f(x)在区间(n，(n1)上是单调的，故nxn
4、1(n1).因此，当n1时，；当n2时，(41)；当n3时，0)，设fn(x)为fn1(x)的导数，nN*.(1)求2f1f2的值；(2)证明：对任意的nN*，等式都成立23解： (1)由已知，得f1(x)f0(x)，于是f2(x)f1(x)，所以f1，f2.故2f1f21.(2)证明：由已知得，xf0(x)sin x，等式两边分别对x求导，得f0(x)xf0(x)cos x，即f0(x)xf1(x)cos xsin.类似可得2f1(x)xf2(x)sin xsin(x)，3f2(x)xf3(x)cos xsin，4f3(x)xf4(x)sin xsin(x2)下面用数学归纳法证明等式nfn1
5、(x)xfn(x)sin对所有的nN*都成立(i)当n1时，由上可知等式成立(ii)假设当nk时等式成立，即kfk1(x)xfk(x)sin.因为kfk1(x)xfk(x)kfk1(x)fk(x)xfk(x)(k1)fk(x)xfk1(x)，cossin，所以(k1)fk(x)xfk1(x)sin，因此当nk1时，等式也成立综合(i)(ii)可知，等式nfn1(x)xfn(x)sin对所有的nN*都成立令x，可得nfn1fnsin(nN*)，所以 (nN*) M4 单元综合52014湖南长郡中学月考 记Sk1k2k3knk，当k1，2，3，时，观察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4
6、n3n2，S4n5n4n3n，S5n6n5n4An2，由此可以推测A_5解析 根据所给等式可知，各等式右边的各项系数之和为1，所以A1，解得A.62014日照一中月考 二维空间中圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2，观察发现Sl；三维空间中球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)Vr3，观察发现VS.已知四维空间中“超球”的三维测度V8r3，猜想其四维测度W_.62r4解析 因为W8r3，所以W2r4.72014甘肃天水一中期末 观察下列等式：(11)21；(21)(22)2213；(31)(32)(33)23135.照此规律，第n个等式为_7(n1)(n2)(n3)(n
7、n)2n135(2n1)解析 观察等式规律可知第n个等式为(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)82014南昌调研 已知整数对的序列为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，则第57个数对是_8(2，10)解析 由题意，发现所给序数列有如下规律：(1，1)的和为2，共1个；(1，2)，(2，1)的和为3，共2个；(1，3)，(2，2)，(3，1)的和为4，共3个；(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和为5，共4个；(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5
8、，1)的和为6，共5个由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n1个数对易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2，10)92014福州模拟 已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数yax(a1)的图像上任意不同的两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论a成立运用类比的思想方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数ysin x(x(0，)的图像上任意不同的两点，则类似地有_成立9.sin 解析 依据函数ysin x(x(0，)的图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的下方，所以有sin .
