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1、四升五火箭班1. 数的整除性的复习与提高32. 质数、合数和分解质因数73. 最大公因数、最小公倍数134. 同余问题195. 奇偶性266. 行程问题（一）327. 列方程解应用题428. 不定方程469. 牛吃草问题5010. 逻辑推理53H.抽屉原理627112. 多边形的面积6613. 用等量代换求面积1.数的整除性的复习与提高一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。即a是b的倍数，而b是a的约数（因数）。2、常用符号：整除符号I，不能整除符号）；因为符号，所以的符号二、整除判断方法：
2、1 .能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。2 .能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。3 .能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。4 .能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。5 .能被1整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。6 .能被11整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。7 .能被13整除：末三位上数字所组
3、成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。三、整除的性质：1 .如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。2 .如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。3 .如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4 .如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。四、基本方法：1、利用整除性解数字谜；2、求一个数除以另一个数的余数（同余法）；3、简单验算。例1四位数7。4b能被18整除，要使这个四位数尽可能的小，a和b是什么数字？解：18=2X9,并且2与9互质，根据前面的性质4,可
4、以分别考虑被2和9整除.要被2整除，b只能是0,2,4,6,8.再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11.如果b=0,只有a=7,此数是7740；如果b=2,只有a=5,此数是7542；如果b=4,只有a=3,此数是7344；如果b=6,只有a = l,此数是7146；如果b=8,只有a=8,此数是7848.因此其中最小数是7146.根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型.例2一本老账本上记着：72只桶，共口67.9口元，其中口处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上.解：把口67.9写成整数679,它应被72整除.72=9X8,9与8又互质.按照
5、前面的性质4,只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整除，因此b=2.从6792能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24能被9整除，因此a=3.这笔帐是367.92元.例3在1,2,3,4,5,6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.解：如果选数字5,组成数的最后一位数字就必须是5,这样就不能被偶数2,4,6整除，也就是不能选2,4,6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5,而选其他五个数字1,2,3,4,6.1+2+3+4+6=16,为了能整除3和6,所用的数字之和要能
6、被3整除，只能再添上一个2,16+2=18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是122364.例4四位数7口4口能被55整除，求出所有这样的四位数.解：55=5X11,5与11互质，可以分别考虑被5与11整除.要被5整除，个位数只能是0或5.再考虑被11整除.(7+4)-(百位数字+0)要能被11整除，百位数字只能是0,所得四位数是7040.(7+4)-(百位数字+5)要能被11整除，百位数字只能是6(零能被所有不等于零的整数整除)，所得四位数是7645.满足条件的四位数只有两个：7040,7645.例5一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中
7、，最大的是哪一个？解:为了使这个数最大，先让前五位是98765,设这个七位数是诙舌,要使它被11整除，要满足(9+7+5+b)-(8+6+a)=(21+b)-(14+a)能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0,1,2,3,4中的两个数，只有b=4, a=0,满足条件的最大七位数是9876504.再介绍另一种解法.先用各位数字均不相同的最大的七位数除以11(参见下页除式).要满足题目的条件，这个数是9876543减6,或者再减去11的倍数中的一个数，使最后两位数字是0,1,2,3,4中的两个数字.89786711/9876543/_gg86779588746683764
8、3-6=37,37-11=26,26-11=15,15-11=4,因此这个数是9876504.思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？(答：1023495)例6某个七位数1993口口能被2,3,4,5,6,7,8,9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？与上例题一样，有两种解法.解一：从整除特征考虑.这个七位数的最后一位数字显然是0.另外，只要再分别考虑它能被9,8,7整除.1+9+9+3=22,要被9整除，十位与百位的数字和是5或14,要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：1993500,1993320,1993680,其中只有1
9、99320能被7整除，因此所求的三位数是320.解二：直接用除式来考虑.2,3,4,5,6,7,8,9的最小公倍数是2520,这个七位数要被2520整除.现在用1993000被2520来除，具体的除式如下：792520/1993000/1764022900226802200因为2520-2200=320,所以1993000+320=1993320能被2520整除.例7下面这个41位数20个520个9能被7整除，中间方格代表的数字是几？解：因为111111=3X7X11X13X37,所以555555=5X111111和999999=9X111111都能被7整除.这样，18个5和18个9分别组成的
10、18位数，也都能被7整除.原数=09+550990-5+9-18个523个018右边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只要中间的55口99能被7整除，原数就能被7整除.把55口99拆成两个数的和：55A00+B99,其中口=A+B.因为7 I 55300,7|399,所以口=3+3=6.注意，记住111111能被7整除是很有用的.例8求645763除以7的余数.解：可以先去掉7的倍数630000余15763,再去掉14000还余下1763,再去掉1400余下363,再去掉350余13,最后得出余数是6.这个过程可简单地记成645763f 15763f 1763f 363fl 3f 6
11、.如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：645763fl50001000-6.带余除法可以得出下面很有用的结论：如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.例9检验下面的加法算式是否正确：2638457+3521983+6745785=12907225c分析与解：若干个加数的九余数相加，所得和的九余数应当等于这些加数的和的九余数。如果不等，那么这个加法算式肯定不正确。上式中，三个加数的九余数依次为8,4,6,8+4+6的九余数为0；和的九余数为1。因为0W1,所以这个算式不正确。例10检验下面的减法算式是否正确：7832145-2167953=5664192。分
12、析与解：被减数的九余数减去减数的九余数（若不够减，可在被减数的九余数上加9,然后再减）应当等于差的九余数。如果不等，那么这个减法计算肯定不正确。上式中被减数的九余数是3,减数的九余数是6,由（9+3）-6=6知，原题等号左边的九余数是6。等号右边的九余数也是6。因为6=6,所以这个减法运算可能正确。值得注意的是，这里我们用的是“可能正确”。利用弃九法检验加法、减法、乘法（见例5）运算的结果是否正确时，如果等号两边的九余数不相等，那么这个算式肯定不正确；如果等号两边的九余数相等，那么还不能确定算式是否正确，因为九余数只有0,1,2,8九种情况，不同的数可能有相同的九余数。所以用弃九法检验运算的正
13、确性，只是一种粗略的检验。例11检验下面的乘法算式是否正确：46876X9537=447156412.分析与解：两个因数的九余数相乘，所得的数的九余数应当等于两个因数的乘积的九余数。如果不等，那么这个乘法计算肯定不正确。上式中，被乘数的九余数是4,乘数的九余数是6,4X6=24,24的九余数是6。乘积的九余数是7。6W7,所以这个算式不正确。说明：因为除法是乘法的逆运算，被除数=除数X商+余数，所以当余数为零时，利用弃九法验算除法可化为用弃九法去验算乘法。例如，检验383801+253=1517的正确性，只需检验1517X253=383801的正确性。思维拓展甲、乙两人进行下面的游戏.两人先约
14、定一个整数N.然后，由甲开始，轮流把0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字之一填入下面任一个方格中每一方格只填个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数.如果这个六位数能被N整除，就算乙胜：如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜.如果N小于15,当N取哪几个数时，乙能取胜？解：N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就使六位数不能被N整除，乙不能获胜.N=5,甲可以在六位数的个位，填一个不是0或5的数，甲就获胜.上面已经列出乙不能获胜的N的取值.如果N=l,很明显乙必获胜.如果N=3或9,那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和，凑成3的整数倍或9
15、的整数倍.因此，乙必能获胜.考虑N=7,11,13是本题最困难的情况.注意到1001=7X11X13,乙就有一种必胜的办法.我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被1001整除.根据前面讲到的性质2,这个六位数，能被7,11或13整除，乙就能获胜.综合起来，使乙能获胜的N是1,3,7,9,11,13.记住，1001=7X11X13,在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的.1、 32x5y能同时被2、3、5整除，求所有满足条件的五位数。解：32250,32550,32850。2、 已知72| x931y,求满足条件的五位数。解：39312.提示：注意x, y都是小等于9的数。3、 已知五位数坨立能被8和9整除，求x + y的值。解：8o提不：同样注意x, y小
