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1、2021届高三数学下册复习检测试题82021高考数学萃取精华30套（8）1.山东三模20. 已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为)2,0(,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点),0(m P ，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且2=（）求椭圆方程；（）求m 的取值范围20.解：（）由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为)0(12222=+b a bx a y ，由题意知2=a ，c b =，又222c b a +=则2=b ，所以椭圆方程为12422=+x y -4分 （）设),(),(2211y x B y x A ，由题意，直线l 的斜率存在， 设
2、其方程为m kx y +=，与椭圆方程联立即?+=+mkx y x y 4222， 则0)4)(2(4)2(,042)2(222222-=?=-+m k mk m mkx x k由韦达定理知?+-=?+-=+22212212422k m x x k m k x x ；-6分 又PB AP 2=，即有),(2),(2211m y x y m x -=-2222222122121)22(22422km k k m x x x x x x x x +-=+-?-=-=+=-8分 整理得22228)49(m k m -=-又0492=-m 时不成立，所以04928222-=m m k -10分得494
3、22()32,2(?-.-12分 21. 已知关于x 函数x a xx g ln 2)(+=(R a ),)()(2x g x x f +=， （）试讨论函数)(x g 的单调区间；（）若,0a 试证)(x f 在区间)1,0(内有极值. 21.解：（）由题意)(x g 的定义域为),0(+x a xx g ln 2)(+=2222)(x ax x a x x g -=+-= （i ）若0a ，则0)(x 2=， )2,0(a x 时，0)(+a x 时，0)(x g ，所以)2,0(a 为其单调递减区间；),2(+a为其单调递增区间；-6分（）)()(2x g x x f +=所以)(x g
4、 的定义域也为),0(+，且23222222)()()(xax x x ax x x g x x f -+=-+=+=令),0,22)(3+-+=x ax x x h因为0a ，则06)(2+=a x x h ，所以)(x h 为),0+上的单调递增函数，又0)1(,02)0(=是)(x f 的变号零点，所以)(x f 在区间)1,0(内有极值. -12分 22.已知数列n a 满足：)(1*N n a S n n -=，其中n S 为数列n a 的前n 项和. （）试求n a 的通项公式；（）若数列n b 满足：)(*N n a nb nn =，试求n b 的前n 项和公式n T ； （II
5、I ）设11111n n n c a a +=+-，数列n c 的前n 项和为n P ，求证：212-n P n 22. 解：（）n n a S -=1 111+-=n n a S -得n n n a a a +-=+11 )(,21*1N n a a n n =+ 又1=n 时，111a a -=211=a )(,)21()21(21*1N n a n n n =?=-4分 （）)(,2*N n n a nb n nn ?=n n n T 223222132?+?+?+?= 143222322212+?+?+?+?=n n n T -得1132221)21(222222+?-=?-+=-n
6、n n n n n n T整理得：*1,22)1(N n n T n n +-=+-8分 （III ）)121121(212111*)21(11)21(111111111111-+-=-+-=-+=-+=-+=+n n n n n n n n n n n n n a a c -10分又1112121112121121122212222)12)(12()12(12121121+-+-=-+-=-+n nn n n n n n n n n n n n n -12分*1214322,21221212211)211(212)21212121(22N n n n n n P n n n n -+-=-=
7、+-+ -14分2.江苏一模17（本小题满分15分）设等差数列n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +=，（1）求数列n a 的通项公式及前n 项和公式； （2）设数列n b 的通项公式为nn n a b a t=+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，(3)m m N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由.【解】（1）设等差数列n a 的公差为d . 由已知得51323439a a a +=?=?， 2分 即118173a d a d +=?+=?，解得112.a d =?=?，4分.故221n n a n S n =-=，.
8、6分（2）由（1）知2121n n b n t-=-+.要使12m b b b ，成等差数列，必须212m b b b =+，即312123121m t t m t -?=+-+，8分.整理得431m t =+-， 11分 因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，4m =.故存在正整数t ，使得12m b b b ，成等差数列. 15分18（本小题满分15分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知AB =AC =6km ，现计划在BC 边的高AO 上一点P 处建造一个变电站. 记P 到三个村庄的距
9、离之和为y . （1）设PBO =，把y 表示成的函数关系式； （2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？ 【解】（1）在Rt AOB ?中，6AB =，所以OB =OA=.AP所以ABC=由题意知0. 2分所以点P到A、B、C的距离之和为2sin22)cosy PB PA-=+=. 6分故所求函数关系式为()2sin cos4y-=. 7分（2）由（1）得22s i n1cosy-=，令0y=即1sin2=，又 4，从而6=. 9分.当 6y64y.所以当6=时，2sin4cosy-=+取得最小值，13分此时6OP=km），即点P在OA上距O处.【答】变电站建于距O处时，它到三个小
10、区的距离之和最小. 15分19（本小题满分16分）已知椭圆()2222 y xC a ba b：+1过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且(13)B-，.（1）求椭圆C和直线l的方程；（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D若曲线2222440x mx y y m-+-=与D有公共点，试求实数m的最小值【解】（1）由离心率e=223a b=. 2分又点(13)B-，在椭圆2222:1y xCa b=+上，即2222(3)(1)1a b-=+.4分解得22124a b=，故所求椭圆方程为221124y x+=. 6分由(20)(13)A B-，得直线l的方
11、程为2y x=-. 8分（2）曲线2222440x mx y y m-+-=，即圆22()(2)8x m y-+=，其圆心坐标为(2)G m-，半径r=，表示圆心在直线2y=-上，半径为. 10分由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑0m?,3220m m m +?-+不同零点，过点A 可作三条不同切线.所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线，m 的范围是(3,2)-. 22（本小题满分14分）已知函数2()2f x x x =+. （）数列11:1,(),n n n a a a f a +=满足求数列n a 的通项公式；（）已知数列110,()(*)n n n b b t b f b n N +=满足，求数列n b 的通项公式；（）设11,n n n n b c c b +=数列的前n 项和为Sn ，若不等式n S 22、(本小题满分14分)解：（I ）()22f x x =+，1分122n n a a +=+ 122(2)n n a a +=+112,2(2)2n n n a a a -+=+为等比数列 1322n n a -=?-4分（）由已知得0n b ， 211(1),n n b b +=+1分1lg(1)2lg(1),n n b b +=+
