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1、_4.1微分中值定理 单元教学设计一、教案头单元标题：微分中值定理单元教学学时8在整体设计中的位置第23-26次授课班级上课地点教学目标能力目标知识目标素质目标能够理解和掌握罗尔定理能够掌握拉格朗日定理并证明相关问题能够掌握导数判断函数的单调性能够掌握柯西中值定理及洛比达法则洛尔定理、拉格朗日定理单调性、柯西定理、洛比达法则深刻思维能力团结合作能力语言表达能力能力训练任务及案例任务1 罗尔定理 任务2 拉格朗日定理 任务3 单调性 任务4 柯西定理与洛比达法则案例1 求的单调区间案例2 讨论的单调性案例3 计算案例4 设f(x)在0,1上连续，在（0,1）内可导，且f(1)=0,试证：至少存在
2、一个点 ，使得案例5 设在区间上连续，在内可导，证明：在内至少存在一点，使得案例6 若均为常数，求教学材料高等数学教材 侯风波主编 高等教育出版社高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社高等数学应用205例 李心灿主编高等教育出版社经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社二、教学设计步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配1（告知）本单元学习目标： 洛尔定理拉格朗日定理单调性柯西定理洛比达法则陈述板书识记10分钟2（引入任务1）洛尔定理学生阅读73页，理解罗尔定理。教师黑板画图像：根据图像寻找点，结合导数的几何意义，寻找经过讨论：原来这个点就是最高点或者最低点。例： 设，验证符合洛尔定理
3、。练习：设验证符合洛尔定理。教师讲解教师提示学生认真听讲分组研讨30分钟3（任务2）拉格朗日定理学生阅读70页教材，结合下面的图像：分析拉格朗日定理的成立理由例 研究在区间1,2上满足拉格朗日定理证明：如果在区间a,b内满足，则在a,b内f(x)是个常数。练习：证明教师启发讲解板书师生研讨40分钟4（任务3）单调性学生阅读72页内容，总结单调性与导数有何关系。总结：（1）如果在内的导数，那么f(x)在这个区间内单调增加（2）如果在内的导数，那么f(x)在这个区间内单调减少要研究函数的单调区间步骤（1）求驻点（2）以驻点分开定义域为若干块，在每块内探讨一阶导数的正负。正的单调增加，负则单调减少。
4、例：研究的单调区间例：研究的单调区间练习：证明，时，教师启发讲解板书师生研讨60分钟5（任务4）柯西定理与洛比达法则柯西定理是前面两个定理的推广，学生了解即可。他的证明是把两个函数看成参数方程，连接的连线的斜率是，在曲线上必有一个点，它的切线斜率是柯西定理的一个主要应用就是证明罗比达法则：例 计算例 计算例 计算例 计算练习 计算 计算 计算教师启发讲解板书师生研讨60分钟6（案例）案例1 求的单调区间案例2 讨论的单调性案例3 计算案例4 设f(x)在0,1上连续，在（0,1）内可导，且f(1)=0,试证：至少存在一个点 ，使得案例5 设在区间上连续，在内可导，证明：在内至少存在一点，使得案
5、例6 若均为常数，求学生讨论学习60分钟作业77页1 2 3 4课后体会4.2函数的极值和最值 单元教学设计一、教案头单元标题：函数的极值和最值单元教学学时8在整体设计中的位置第27-30次授课班级上课地点教学目标能力目标知识目标素质目标能够极值和最值的概念和区别能够求解函数的极值和最值单调性极值最值求法深刻思维能力团结合作能力语言表达能力能力训练任务及案例任务1 函数的极值定理及其求解任务2 函数的最值及其求解案例1 求的极值案例2 讨论的极值案例3（最大流量出口） 有一块宽为2a的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面积为矩形，高为x,问高x取和值时水槽的流量最大？
6、案例4 （铁路站点安置） 铁路线距离为100公里，工厂距为20公里，垂直于，今要在上选定一个点向工厂修筑一条公路，已知铁路与公路每公里货运费之比是3:5，问点选在何处才能使从B到C的运费最少？案例5 （最大面积问题） 现在用一张铝合金材料加工一个日字型窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能是窗户的面积最大，最大面积是多少？如下图教学材料高等数学教材 侯风波主编 高等教育出版社高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社高等数学应用205例 李心灿主编高等教育出版社经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社二、教学设计步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配1（告知）本单元学习目标： 极值最值陈述
7、板书识记5分钟2（引入任务1）极值学生阅读77页内容，搞清楚：（1）极值点的定义（2）求解极值点的方法定义：设函数在点的某邻域内都有，则称是极大点，为极大值。设函数在点的某邻域内都有，则称是极小点，为极小值。如下图是极大点，是极小点判断一个点的极大点或者极小点有两种方法1、根据两侧的的符号来判定左侧右侧极小点极大点不是极值点不是极值点例 求函数的极值点和极值练习：求函数的极值点和极值2、根据二阶导数的符号来确定设是驻点，如果，则是极小点；如果，则是极大点；，则是无法判断是极大点还是极小点。例 求函数的极值例 求函数的极值教师讲解教师提示学生认真听讲分组研讨50分钟3（任务2）函数的最值学生阅读
8、教材79页，总结求最值的办法以及极值和最值的区别。求解最大值和最小值的办法：（1）求出在内的一切驻点和一阶导数不存在的点，并计算个点的函数值（此时不必判断是极大值点还是极小值点）（2）求出端点（3）比较前面求出的所有函数值，最大的就是最大值，最小的就是最小值。例 求函数在-3,4上的最值解：，得。所以。所以最大值点是4，最大值是128；最小值点是1，最小值是-7.练习：求函数在-3,3上的最值参考图像教师启发讲解板书师生研讨40分钟4（案例）案例应用案例1 求的极值案例2 讨论的极值案例3 有一块宽为2a的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面积为矩形，高为x,问高x取
9、和值时水槽的流量最大？案例4 铁路线距离为100公里，工厂距为20公里，垂直于，今要在上选定一个点向工厂修筑一条公路，已知铁路与公路每公里货运费之比是3:5，问点选在何处才能使从B到C的运费最少？案例5 现在用一张铝合金材料加工一个日字型窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能是窗户的面积最大，最大面积是多少？如下图学生讨论学习数学软件演示图像60分钟作业80页1 2 3 4.3函数图像的描绘 单元教学设计一、教案头单元标题：函数图像的描绘单元教学学时8在整体设计中的位置第31-34次授课班级上课地点教学目标能力目标知识目标素质目标能够掌握函数的凸凹性及拐点能够求解函数渐进线能够按照步骤画出复杂函
10、数的图像凸凹性拐点渐进线函数的图像深刻思维能力团结合作能力语言表达能力能力训练任务及案例任务1 函数的凸凹性和拐点任务2 函数的渐近线.任务3 按步骤描绘函数图像案例1（注水曲线凸凹） 设水以常数注入下图的容器中，请做出水上升的高度关于时间t的函数，并阐明此函数的拐点和凸凹性。案例2 描绘函数的图像。案例3（最值问题） 要用铁皮造一个容积为V的圆柱形闭合油罐，问底半径r和高h等于多少时，能使所使用的铁皮最省？这时候的半径r和高h的比值是多少？案例4（最值问题） 要建造一个上面是半球形，下面是圆柱形的粮仓，其容积是V，问当圆柱体的高h和底半径r为何值时，粮仓所使用的建筑材料最省？教学材料高等数学
11、教材 侯风波主编 高等教育出版社高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社高等数学应用205例 李心灿主编高等教育出版社经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社二、教学设计步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配1（告知）本单元学习目标： 凸凹性拐点渐近线描绘函数图像陈述板书识记10分钟2（引入任务1）凸凹性学生阅读83页，理解凸凹性。如下面函数图像观察图像，发现函数的图像有的在其上的点的切线下方（下凹），有时函数的图像有的在其上的点的切线上方（上凹）。例如A点，图像在过A点的切线下方，那么A点周围的函数图像就是下凹。例如B点，图像在过B点的切线上方，那么B点周围的函数图像就是上凹。关于凸
12、凹性有重要的定理：设函数在内有二阶导数。那么（1）若在内，则曲线在内上凹。（2）若在内，则曲线在内下凹。拐点如果点P的两侧，函数的凹向性不一样，那么这样的点P叫做函数的拐点。因此拐点就是使得或者二阶导数不存在的点。例 求曲线的凸凹性与拐点。例 判定函数的凸凹性例 求函数的拐点。教师讲解教师提示学生认真听讲分组研讨30分钟3（任务2）渐近线（1）斜渐近线若满足：，且则曲线有渐近线如下图：例 求曲线的斜渐近线例 求曲线的斜渐近线（2）垂直渐近线如果(或者或者)时，。则是的垂直渐近线例 求的垂直渐近线例 求曲线的垂直渐近线（3）水平渐进线如果(或者或者)时，。则是函数的水平渐近线例 求的水平渐近线例
13、 求曲线的水平渐近线例 求曲线的水平渐近线。例 求的渐近线例 求曲线的斜渐近线教师启发讲解板书师生研讨60分钟4（任务3）描绘函数图像学生阅读86页，总结描绘函数图像的步骤：（1） 确定函数的定义域（2） 考察函数的周期性和奇偶性（3） 确定函数的单调区间、极值点、凸凹性、拐点、考察（4） 考察函数的曲线的渐进线（5） 考察函数曲线与坐标轴的交点最后画出图像例 描绘函数的图像（1）定义域（2）函数不具备周期性和奇偶性（3）令得表明函数与x轴有两个交点，一个是0，一个是3.（4）得驻点0,2.用二阶导数判定,x=0是极小点，极小值f(0)=0,x=2是极大点,极大值f(2)=4(5) ,拐点x=1,在1的左侧，上凹；在1的右侧，下凹（6）无渐近线作图如下：例 画出的图像。参考图像教师启发讲解板书师生研讨60分钟5（案例）案例应用案例1 设水以常数注入下图的容器中，请做出水上升的高度关于时间t的函数，并阐明此
