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1、傅里叶变换在图像处理中的应用研究摘要：文章将“傅里叶变换”应用到空间频谱处理当中，并将结果以最直观的方式图形表示出来；文章意在说明用一种实用的方法对数字图像进行处理。关键词：傅里叶变换 数字图像处理 MATLAB 图像滤波 图像特征定位1.引言近年来，随着电子技术、图像处理方法和信号理论的迅猛发展，数字图像处理技术得到飞速发展，它广泛应用于几乎所有与成像有关的领域。传统的光学系统在信号处理时，存有它自身很难克服的不足：第一，它对空间频谱平面的处理很难，尤其在低频和甚低频时，即使可通过大量仪器来实现，但代价往往很高；第二，光学处理由于采样孔径(即传感单元)太窄而不能起到抗混叠作用，不能除去高频信
2、息。而傅里叶变换和线性移不变系统有紧密联系，它有一个很好的理论背景来指导它在图像处理中的作用，可以方便有效地克服上述不足，使其在数字图像处理中占有一席之地。2.图像处理技术2.1 模拟图像处理(Analog image processing)；模拟处理包括：光学处理（利用透镜）和电子处理，如：照相、遥感图像处理、电视信号处理等，电视图像是模拟信号处理的典型例子，它处理的是活动图像，25帧/秒。优点：模拟图像处理的特点是速度快，一般为实时处理，理论上讲可达到光的速度，并可同时并行处理。缺点：模拟图像处理的缺点是精度较差，灵活性差，很难有判断能力和非线性处理能力。2.2数字图像处理(Digital
3、 Image processing)：数字图像处理一般都用计算机处理，因此也称之谓计算机图像处理（Computer Image processing）优点：处理精度高，处理内容丰富，可进行复杂的非线性处理，有灵活的变通能力，一般来说只要改变软件就可以改变处理内容。缺点：处理速度还是一个问题，特别是进行复杂的处理更是如此。其次是分辨率及精度尚有一定限制。2.2.1 数字图像处理的主要方法 A、空域法：这种方法是把图像看作是平面中各个像素组成的集合，然后直接对这一二维函数进行相应的处理。空域处理法主要有两大类：B、变换域法：数字图像处理的变换域处理方法是首先对图像进行正交变换，得到变换域系数阵列，
4、然后再施行各种处理，处理后再反变换到空间域，得到处理结果。这类处理包括：滤波、数据压缩、特征提取等处理3傅里叶变换傅里叶变换是我们熟悉的正交变换，它是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。在一维信号处理中得到了广泛的应用，把这种处理方法用到推广到数字图像处理中，能对图像中的相移幅度高低频率噪音及图像增强进行处理。3.1傅里叶变换的基本概念如果设为的函数，如果满足下面的狄里赫莱条件： 具有有限个间断点； 具有有限个极值点 绝对可积。则有下式成立 式中，为时域变量，为频域变量。如果令则有 通常把以上公式称为傅里叶变换对。 傅里叶变换一般是一个复量，它可以表示为本文以计算机为工具，以
5、MATLAB为手段，通过快速离散傅里叶变换与MATLAB作图，说明如何利用傅里叶变换对空间频谱平面进行处理。一幅静止的数字图像可看做是二维数据阵列。因此，数字图像处理主要是二维数据处理。二维离散傅里叶变换的定义可用下面二式表示。正变换式为： 反变换式为：4傅里叶变换在数字图像处理中的应用图像保存：傅里叶正变换将图像分解为一组越来越小的正交归一图像，具有很高的压缩比,仍能够将原始数据完全恢复而不引入任何失真。当我们希望将一幅图像以一种更紧凑的数据格式进行编码，同时保持数据不丢失时，傅里叶变换是一个很好的工具。图像滤波：在进行傅里叶变换后，若在反变换之前对变换域进行选择，可对图像进行滤波处理。图形
6、增强：正变换将一幅图像分解为大小、位置和方向都不同的分量，在逆变换之前改变域中某些系数的幅度，有选择提升感兴趣的分量，而忽略不需要的东西；或根据实际需要，缔造一个传递函数，在变换域将频谱乘以传递函数，再进行傅里叶逆变换来实现。当然，这个实现过程需要很好地设计传递函数。图像复原：目标是对退化的图像进行处理，使它复原成没有退化的理想图像。成像过程的每一个环节(透镜、感光片、数字化)都能引起退化，我们可视具体应用的不同，将损失掉的图像部分恢复过来，以起到很重要的作用。例如，图像上的污点，我们可以利用信息的相关性，通过傅里叶卷积来达到隐去污点之目的；对于天文现象像太空研究中月球或行星图像的获取，摄取特
7、定信息，利用谱线的相关性，通过频谱分析，再现物体之原貌。5傅里叶变换的应用实例5.1线性滤波器的频率响应在进行滤波器设计时，通常需要分析所设计滤波器的频率相应特性，如通频带、起始频率等，通过分析，看所设计的滤波器是否满足参数指标要求。MATLAB提供了函数freqz2，可以对线性滤波器的频率响应进行分析，这是因为线性滤波器冲击响应的傅里叶变换很好的反应了滤波器的频率响应特性。以下程序代码示例给出了高斯滤波器的频率响应，并显示了滤波器通频带特性。h=fspecial(gaussian);freqz2(h) 图1 滤波器频率响应5.2 快速卷积傅里叶变换的另一个重要用途是可以用于实现快速卷积运算。
8、由线性系统理论可知，两个函数卷积的傅里叶变换等于这两个函数傅里叶变换的乘积。利用该性质，并集合快速傅里叶变换的算法，可以快速计算两个函数的卷积。 假设A,B是5阶矩阵，则A和B的卷积可以通过如下程序实现：A=magic(5); B=ones(5);C=conv2(A,B) C = 17 41 42 50 65 48 24 23 15 40 69 77 99 130 90 61 53 31 44 79 100 142 195 151 116 95 53 54 101 141 204 260 206 159 119 56 65 130 195 260 325 260 195 130 65 48 8
9、9 153 210 260 212 171 107 50 25 61 118 161 195 170 134 77 34 21 51 95 118 130 109 79 35 12 11 29 54 56 65 54 36 11 9 5.3 图像特征定位傅里叶变化还可以用于与卷积密切相关的相关运算。在数字图像处理中，相关运算可以用来实现特征定位，通常也称做模板匹配。例如，想在一含有许多数字的图像中定位数字“130”，就可以通过如下方法进行定位：首先，读取图像，并且产生字母“130”的模板，程序代码如下，结果如图2所示。 a 原图 b 模板 图2 在图形中定位数字“130”所谓将模板和原图进行相
10、关运算，就是先分别对其作快速傅里叶变换，然后利用快速卷积的方法，计算模板和原图的卷积，并提取卷积运算结果的最大值，即得到原图中数字“130”的定位结果。C=conv2(A,B);imshow(C, )thresh=max(C,(:);figure,imshow(Cthresh)6结束语傅里叶变换很好的理论背景，使其在空间滤波、光学信息处理中发挥着重要作用。随着图像处理所用的计算机设备不断降价，随着支持傅里叶变换的硬件的出现，傅里叶变换在数字图像处理领域将得到进一步发展。图像处理特别是数字图像处理科学经初创期、发展期、普及期及广泛应用几个阶段，如今已是各个学科竞相研究并在各个领域广泛应用的一门科
11、学。今天，随着科技事业的进步以及人类需求的多样化发展，多学科的交叉、融合已是现代科学发展的突出特色和必然途径，而图像处理科学又是一门与国计民生紧密相联的一门应用科学，它的发展与应用与我国的现代化建设联系之密切、影响之深远是不可估量的。图像处理科学无论是在理论上还是实践上都存在着巨大的潜力。参考文献1(美)卡斯尔曼(castleman，kR)著；朱志刚等译.数字图像处理.北京：电子工业出版社，2002.2.2孙家广等主编.计算机图形学.第3版.北京：清华大学出版社，1998.9.3罗军辉等主编.MATLAB7.0在图像处理中的应用.第1版.北京：机械工业出版社，2007.7.附录h=fspecial(gaussian);freqz2(h) A=magic(5); B=ones(5);C=conv2(A,B)
