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1、2023高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2、一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知，则（ ）ABCD2设等差数列的前n项和为，且，则( )A9B12CD3已知函数，若,且 ，则的取值范围为（ ）ABCD4中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（ ）ABCD5已知复数满足，则（ ）ABCD6若各项均为正数的等比数列满足，则公比（ ）A1B2C3D47已知向量，且与的夹角为
3、，则（ ）AB1C或1D或98已知直线，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9在中，为的外心，若，则（ ）ABCD10已知函数，下列结论不正确的是（ ）A的图像关于点中心对称B既是奇函数，又是周期函数C的图像关于直线对称D的最大值是11定义，已知函数，则函数的最小值为（ ）ABCD12在中，已知，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知三棱锥中，则该三棱锥的外接球的表面积是_.14已知双曲线的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率为_15函数的图象在处的切线方程为_16正三
4、棱柱的底面边长为2，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在平面直角坐标系中，曲线：（为参数，），曲线：（为参数）.若曲线和相切.（1）在以为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，求曲线的普通方程；（2）若点，为曲线上两动点，且满足，求面积的最大值.18（12分）在ABC中，角所对的边分别为向量，向量，且.（1）求角的大小；（2）求的最大值.19（12分）近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了人，其中女性人，男性人，并根据统计数据
5、画出等高条形图如图所示：（1）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由；（2）根据统计数据建立一个列联表；（3）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系.附：20（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，设，证明：，使.21（12分）已知变换将平面上的点，分别变换为点，设变换对应的矩阵为（1）求矩阵；（2）求矩阵的特征值22（10分）已知函数（I）若讨论的单调性；（）若，且对于函数的图象上两点，存在，使得函数的图象在处的切线.求证：.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项
6、中，只有一项是符合题目要求的。1D【答案解析】令，求，利用导数判断函数为单调递增，从而可得，设，利用导数证出为单调递减函数，从而证出，即可得到答案.【题目详解】时，令，求导，故单调递增：，当，设， ，又，即，故.故选：D【答案点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题.2A【答案解析】由，可得以及，而，代入即可得到答案.【题目详解】设公差为d，则解得，所以.故选：A.【答案点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.3A【答案解析】分析：作出函数的图象，利用消元法转化为关于的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单
7、调性与最值，即可得到结论.详解：作出函数的图象，如图所示，若，且，则当时，得，即，则满足，则，即，则，设，则，当，解得，当，解得，当时，函数取得最小值，当时，；当时，所以，即的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.4C【答案解析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.5A【答案解析】根据复数的运算法则，可得，然后利用复数模的概念，可得结果.【题目详解】由题可知：由，所
8、以所以故选：A【答案点睛】本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.6C【答案解析】由正项等比数列满足，即，又，即，运算即可得解.【题目详解】解：因为，所以，又，所以，又，解得.故选：C.【答案点睛】本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.7C【答案解析】由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求的值.【题目详解】解：由题意可得，求得，或，故选：C.【答案点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题8C【答案解析】先得出两直线平行的充要条件，根据小范围可推导出大范围，可得到答案.【题目详解】直线，的充要条件是，当a=2时，化简后发现两直线是重合的，故舍去，最终a=-1.因此得
9、到“”是“”的充分必要条件.故答案为C.【答案点睛】判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系9B【答案解析】首先根据题中条件和三角形中几何关系求出，即可求出的值.【题目详解】如图所示过做三角形三边的垂线，垂足分别为，过分别做，的平行线，由题知，则外接圆半径，因为，所以
10、，又因为，所以，由题可知，所以，所以.故选：D.【答案点睛】本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.10D【答案解析】通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果【题目详解】解：，正确；，为奇函数，周期函数，正确；，正确；D： ，令，则，则时，或时，即在上单调递增，在和上单调递减；且，故D错误故选：【答案点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题11A【答案解析】根据分段函数的定义得，则,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.【题目详解】依题意得，则,(当且仅当，即时“”成立.此时,
11、，的最小值为，故选：A.【答案点睛】本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出，再由基本不等式求得最值，属于中档题.12A【答案解析】在中，设，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.【题目详解】在中，设，即，即，即，又，则，所以，解得，.以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、，为线段上的一点，则存在实数使得，设，则，消去得，所以，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：A.【答案点睛】本
12、题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解是一个单位向量，从而可用、表示，建立、与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由，发现为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【答案解析】将三棱锥补成长方体，设，设三棱锥的外接球半径为，求得的值，然后利用球体表面积公式可求得结果.【题目详解】将三棱锥补成长方体，设，设三棱锥的外接球半径为，则，由勾股定理可得，上述三个等式全部相加得，因此，三棱锥的外接球面积为.故答案为：.【答案点睛】本题考查三棱锥外接球
13、表面积的计算，根据三棱锥对棱长相等将三棱锥补成长方体是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.14【答案解析】双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，可得一条渐近线的斜率为1，即，即可求出双曲线的离心率【题目详解】解：双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，一条渐近线的斜率为1，即，故答案为：【答案点睛】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定一条渐近线的斜率为1是关键，属于基础题15【答案解析】利用导数的几何意义,对求导后在计算在处导函数的值,再利用点斜式列出方程化简即可.【题目详解】,则切线的斜率为.又,所以函数的图象在处的切线方程为,即.故答案为：【答案点睛】本题主
14、要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程问题,需要注意求导法则与计算,属于基础题.16【答案解析】试题分析：因为正三棱柱的底面边长为，侧棱长为为中点，所以底面的面积为，到平面的距离为就是底面正三角形的高，所以三棱锥的体积为考点：几何体的体积的计算三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）；（2）【答案解析】（1）消去参数，将圆的参数方程，转化为普通方程，再由圆心到直线的距离等于半径，可求得圆的普通方程，最后利用求得圆的极坐标方程.（2）利用圆的参数方程以及辅助角公式，由此求得的面积的表达式，再由三角函数最值的求法，求得三角形面积的最大值.【题目详解】（1
